Question

【題目】如圖所示，在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)象限的空間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在原點(diǎn)O處有一粒子源在紙面內(nèi)向第Ⅰ象限與x軸正方向成一定角度θ（θ未知）的方向以不同速率發(fā)射同種粒子A，A粒子質(zhì)量為m、電荷量為+2q。在x負(fù)半軸上排列著許多質(zhì)量為m、電荷量為-q的另一種靜止、但被碰后可以自由運(yùn)動(dòng)的粒子B。設(shè)每次A粒子到達(dá)x負(fù)半軸時(shí)總能和一個(gè)B粒子發(fā)生正碰并粘在一起。在y軸上區(qū)間裝有粒子收集器，到達(dá)該區(qū)域的所有粒子將被收集。現(xiàn)有一速度大小為的A粒子射出后經(jīng)過M點(diǎn)后與N點(diǎn)的一個(gè)B粒子發(fā)生碰撞，圖中坐標(biāo)M（0，4L），N（-3L，0），且不計(jì)粒子間除碰撞外的其它作用力。

（1）求粒子的速度大小和夾角θ；

（2）求在N點(diǎn)碰撞后的粒子，最后達(dá)到y軸的位置；

（3）若從O點(diǎn)射出的粒子速度v限制在的范圍內(nèi)，且粒子數(shù)在此范圍內(nèi)均勻分布，求粒子的收集率。

Answer 1

【答案】（1），37°；（2）（0，L）；（3）25%

【解析】

（1）先后經(jīng)過O、M、N三點(diǎn)，這三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，故圓心在的中點(diǎn)如圖：

設(shè)半徑為，根據(jù)幾何知識(shí)可以得到

整理可以得到

又因

代入可得

（2）兩粒子碰撞，動(dòng)量守恒

可得

即粒子以M為圓心，5L為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)，打在y軸上的位置坐標(biāo)；

（3）以速度發(fā)射的粒子，碰前圓周運(yùn)動(dòng)半徑

碰后運(yùn)動(dòng)半徑

碰后粒子在第3象限以為圓心，為半徑圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示

則與y軸的交點(diǎn)

考查打到收集板下邊緣的粒子，令，則

即

可得

綜合可得：速度分布區(qū)間為的粒子都將會(huì)被收集板收集到，故收集率為25%。