如圖所示,B的質(zhì)量為2m,半徑為R的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面.A是質(zhì)量為m的細長直桿,被固定的光滑套桿D約束在豎直方向上,A可以自由上下運動,物塊C的質(zhì)量是m,緊靠半球形碗放置.初始時A桿被握住,使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸.然后從靜止開始釋放A,則A、B、C便開始運動.求
(1)當(dāng)長直桿A的下端運動到碗的最低點時,長直桿A的速度和B、C的速度?
(2)當(dāng)長直桿A的下端運動到距半球形碗的最低點
R2
處,長直桿A的速度和B、C的速度?
分析:(1)長直桿的下端運動到碗內(nèi)的最低點時vB=vC,由系統(tǒng)的機械能守恒即可求解;
(2)此題長直桿可沒有越過最低點,也可能越過了最低點,分兩種情況討論.A滑到最低點前,對B始終存在彈力,有向右的水平分量,根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒和A、B速度關(guān)系列式求解;當(dāng)長直桿越過最低點后,B和C分離,再由機械能守恒列式求解.
解答:解:(1)長直桿的下端運動到碗的最低點時,長直桿在豎直方向的速度為0,而B、C沿水平方向運動,設(shè)速度為vB=vC=v.由機械能守恒定律得
   mgR=
1
2
?3mv2
解得,vB=vC=v=
2
3
gR

(2)A滑到最低點前,對B始終存在彈力,有向右的水平分量,故在此之前,BC共同加速不分離.
   設(shè)A沿豎直方向運動,速度為vA,B、C沿水平方向運動,速度為vB=vC,且A桿的位置用θ表示,θ為碗面的球 心O至A桿下端與球面接觸點的連線方向與豎直方向的夾角.
vA,vB的速度矢量圖如圖中平行四邊形所示,由圖得
   vB=vAcotθ
由機械能守恒得 mgR=
1
2
m
v
2
A
+
1
2
2m
v
2
B
+
1
2
m
v
2
C

解得 vA=
2gRcosθ
1+3cot2θ
,vB=vC=
2gRcosθcot2θ
1+3cot2θ

當(dāng)滑到
R
2
處時,θ=60°,則得vA=
gR
2
,vB=vC=
gR
6

   當(dāng)長直桿越過最低點后,B和C分離,長直桿的下端上升到所能達到的最高點時,長直桿在豎直方向上的速度為零.
  則有
1
2
2mv2
=mgh,h=
2
3
R
則到
R
2
處A和B機械能守恒,則得
 
1
2
?2m
v
2
B
=mg
R
2
+
1
2
m
v
′2
A
+
1
2
2m
v
′2
B

又vB′=vA′cotθ
解得 vA′=
1
5
gR
,vB′=
1
15
gR
,vC′=
2
3
gR

答:
(1)當(dāng)長直桿A的下端運動到碗的最低點時,長直桿A的速度
gR
2
,B、C的速度均為
gR
6

(2)當(dāng)長直桿A的下端運動到距半球形碗的最低點
R
2
處,當(dāng)長直桿越過最低點前時,長直桿A、B、C的速度分別為
1
5
gR
,
1
15
gR
,
2
3
gR
;當(dāng)長直桿越過最低點后,分別為
1
5
gR
,
1
15
gR
2
3
gR
點評:此題主要考查了機械能守恒定律的直接應(yīng)用,要知道長直桿的下端第一次運動到碗內(nèi)的最低點時,A的水平方向速度為零,長直桿的下端上升到的最高點時直桿豎直方向速度為零,難度較大.
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R
2
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(1)當(dāng)長直桿A的下端運動到碗的最低點時,長直桿A的速度和B、C的速度?
(2)當(dāng)長直桿A的下端運動到距半球形碗的最低點處,長直桿A的速度和B、C的速度?

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