Question

【題目】如圖所示，在豎直平面(紙面)內(nèi)有一直角坐標(biāo)系xOy，水平軸x下方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第三象限有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限存在另一勻強(qiáng)電場(chǎng)(圖中未畫出)；光滑絕緣的固定不帶電細(xì)桿PQ交x軸于M點(diǎn)，細(xì)桿PQ與x軸的夾角θ=30°，桿的末端在y軸Q點(diǎn)處，PM兩點(diǎn)間的距離為L。一套在桿上的質(zhì)量為2m、電荷量為q的帶正電小環(huán)b恰好靜止在M點(diǎn)，另一質(zhì)量為m、不帶電絕緣小環(huán)a套在桿上并由P點(diǎn)靜止釋放，與b瞬間碰撞后反彈，反彈后到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)被鎖定，鎖定點(diǎn)與M點(diǎn)的距離為，b沿桿下滑過(guò)程中始終與桿之間無(wú)作用力，b進(jìn)入第四象限后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而后通過(guò)x軸上的N點(diǎn)，且OM=ON。已知重力加速度大小為g，求：

(1)碰后b的速度大小υ以及a、b碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E；

(2)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；

(3)b離開桿后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間會(huì)通過(guò)x軸。

Answer 1

【答案】（1） ； （2）

（3）�。回Q直向上經(jīng)過(guò)x軸： （n=1、2、3……）ⅱ；豎直向下經(jīng)過(guò)x軸： （n=1、2、3……）

【解析】

（1）根據(jù)能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律求解碰后b的速度大小υ以及a、b碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E；（2）b從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中與桿無(wú)作用力，列出平衡方程，結(jié)合其他關(guān)系求解B；（3）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系以及圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解b離開桿后通過(guò)x軸可能的時(shí)間。

（1）設(shè)a和b相碰前的速度大小為v1，碰后的速度為v2，由機(jī)械能守恒定律：

由動(dòng)量守恒定律：

解得

機(jī)械能損失：

解得

（2）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，由于b從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中與桿無(wú)作用力，可得qvBcosθ=2mg，

解得

（3）b在第四象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，

由幾何關(guān)系可知軌跡的圓心O′在x軸上，b經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸垂直，圓心角α=1200，又勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為

b從Q點(diǎn)第一次通過(guò)N點(diǎn)的時(shí)間為

可得

b第一次通過(guò)N點(diǎn)后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t2時(shí)間第二次通過(guò)N點(diǎn)，有：

b第二次通過(guò)N點(diǎn)后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t3時(shí)間第三次通過(guò)N點(diǎn)，有：

故b離開桿后會(huì)通過(guò)x軸的可能時(shí)間是：

（�。┴Q直向上通過(guò)x軸：

（n=1、2、3、……）

（ⅱ）豎直向下通過(guò)x軸：

（n=1、2、3、……）