Question

如圖所示，一束質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從O點(diǎn)由靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)勻強(qiáng)電場(chǎng)加速后，均從邊界AN的中點(diǎn)P垂直于AN和磁場(chǎng)方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=

3

R

2mU q

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的寬度為d=

1

2

R，勻強(qiáng)磁場(chǎng)由一個(gè)長(zhǎng)為2R、寬為

1

2

R的矩形區(qū)域組成，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，粒子間的相互作用和重力均不計(jì)．
（1）若加速電場(chǎng)加速電壓為9U，求粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（2）若加速電場(chǎng)加速電壓為U，求粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子加速獲得的速度．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出加速的時(shí)間．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求出軌跡半徑，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)確定軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求得磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得到總時(shí)間．
（2）若加速電場(chǎng)加速電壓為U時(shí)，運(yùn)用同樣的思路求出粒子電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和磁場(chǎng)中的軌跡半徑，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況，求解磁場(chǎng)中的時(shí)間．即可得到總時(shí)間．

解答：解：（1）若加速電場(chǎng)加速電壓為9U，由動(dòng)能定理得：
    q?9U=

1

2

mv2，得 v=

18qU m

在磁場(chǎng)中，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
   qvB=m

v2

r

又 B=

3

R

2mU q

解得，r=R
畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，由幾何關(guān)系可得，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為 θ=30°；
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t_B=

θ

360°

T=

30°

360°

×

2πm

qB

=

πm

6qB

粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有：d=

1

2

R=

v

2

tE
解得，t_E=R

m 18qU

故粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為 t_總=t_E+t_B=（

π

18

+

1

3

）R

m 2qU

（2）若加速電場(chǎng)加速電壓為U，由動(dòng)能定理得：
 qU=

1

2

mv′2，得：v′=

2qU m

在磁場(chǎng)中，根據(jù)牛頓第二定律得：
 qv′B=m

v′2

r′

解得，r′=

R

3

分析可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡為一個(gè)半圓和四分之一圓周如圖乙所示，
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為 T_B=

2πm

qB

，
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t_B′=

3

4

T_B
分析可知粒子在電場(chǎng)中先加速后減速再加速，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：t_E′=

R 2

v′ 2

=R

m 2qU

則粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3t_B′=3R

m 2qU

故粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t′=t_B′+3t_B′=（2π+3）R

m 2qU

答：（1）若加速電場(chǎng)加速電壓為9U，粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為（

π

18

+

1

3

）R

m 2qU

；
（2）若加速電場(chǎng)加速電壓為U，粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間（2π+3）R

m 2qU

．

點(diǎn)評(píng)：本題畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系求解磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是常規(guī)思路．