Question

（2013?南昌二模）如圖所示，OP₁Q₁與OP₂Q₂是位于同一水平面上的兩根金屬導軌，處在沿豎直方向的勻強磁場中，磁感應強度為B，長度相等的導軌OP₁段與OP₂段相互垂直，交于O點．導軌的P₁Q₁與P₂Q₂段相互平行，相距為2b．一根質量為m的金屬細桿，在t=0s時從O點出發(fā)，在外力作用下以恒定的速度v沿導軌向右滑動．在滑動的過程中，桿速度的方向始終保持與導軌的平行段相平行，且與OP₁成45°夾角，桿與導軌有良好的接觸．假定導軌與金屬桿都有電阻，且每單位長度的電阻都是r．不計金屬細桿與軌道之間的摩擦．
（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導軌上滑動時，通過金屬桿中的電流多大？
（2）從開始運動到t=

b

v

過程中，外力一共做了多少的功？
（3）若控制外力，使金屬桿從靜止開始作勻加速直線運動，加速度大小為a，試寫出外力隨時間變化的規(guī)律．

Answer 1

分析：（1）根據切割求出感應電動勢的表達式，通過回路的長度求出回路的電阻，再通過歐姆定律求出感應到電流的大�。�
（2）從開始運動到t=

b

v

過程中，因為導體棒的有效長度均勻增加，電流不變，則安培力均勻增大，求出這段過程中的平均安培力，抓住安培力做的功等于外力做的功求出外力做功的大�。�
（3）分兩種情況討論，一種是在位移0-b內，一種是位移大于b后，根據牛頓第二定律和運動學公式，結合切割產生的感應電動勢和閉合電路歐姆定律求出外力隨時間變化的規(guī)律．

解答：解：（1）切割產生的感應電動勢E=BLV，回路中的電阻R=（2

2

vt+2vt）r，
根據歐姆定律得：
I₁=

BLv

R

=

B?2Vt?V

(2 2 vt+2vt)r

=

Bv

( 2 +1)r

（2）根據動能定理得：W_F-W_A=0
W_F=W_A=

0+FAmax

2

?b=

1

2

B

Bv

( 2 +1)r

2b?b=

B2vb2

( 2 +1)r

．
（3）分兩段討論：
①0≤t≤

2b a

S=

1

2

at²，V=at，I₁=

Bat

( 2 +1)r

．
F₁-BI₁?2S=ma
F₁=ma+

B2a2t3

( 2 +1)r

．
②t＞

2b a

R=[2

2

b+2（x-b）+2b]r=（2

2

b+at²）r
I₂=

B?2b?at

R

=

2abBt

(2 2 b+at2)r

F₂=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

答：（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導軌上滑動時，通過金屬桿中的電流為

Bv

( 2 +1)r

．
（2）從開始運動到t=

b

v

過程中，外力一共做了

B2vb2

( 2 +1)r

的功．
（3）當0≤t≤

2b a

，F₁=ma+

B2a2t3

( 2 +1)r

；當t＞

2b a

時，F₂=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

．

點評：本題綜合考查了切割產生的感應電動勢、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識點，綜合性較強，注意需區(qū)別導體棒位移0-b內以及位移大于b兩種情況．