Question

近一段時間，“嫦娥一號”衛(wèi)星是國人乃至全世界最關(guān)注的事件之一．某同學在新聞報道中收集了一些關(guān)于“嫦娥一號”的數(shù)據(jù)：“嫦娥一號”衛(wèi)星最終進入的工作軌道是距離月球表面h=200km、周期T₁=127min的極月圓軌道，但他沒有找到月球半徑的數(shù)據(jù)報道，于是他想利用自己學過的物理知識來算出月球的半徑R_月．他又從學習資料上查到一些數(shù)據(jù)：月球的質(zhì)量M_月=7.4×10²²kg，月球繞地球作圓周運動的周期T₂=30天、軌道半徑r_月=3.8×10⁵km，萬有引力恒量G=6.67×10^-11N?m²/kg²．
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，他寫出了求解月球半徑的表達式：

T12

(R月+h)3

=

T22

r月3

你認為他的這個表達式正確嗎？如果正確，請利用萬有引力和圓周運動公式寫出推導上述表達式的過程，并求出R_月的表達式（用字母表示）；如果你認為這個表達式是錯誤的，請利用上述物理量寫出正確的月球半徑R_月的表達式（只需用字母表示）及推導過程．

Answer 1

分析：衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)和月球繞地球轉(zhuǎn)的中心天體不同，則軌道半徑的三次方和周期的二次方比值不同，不能用這種方法求解月球的半徑．根據(jù)萬有引力提供向心力，通過衛(wèi)星的周期和高度以及月球的質(zhì)量求出月球的半徑．

解答：解：這個表達式是錯誤的．因為衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)和月球繞地球轉(zhuǎn)的中心天體不同，則軌道半徑的三次方和周期的二次方比值不同．
G

M月m衛(wèi)星

(R月+h)2

=m_衛(wèi)星

4π2

T12

（R_月+h）
（R_月+h）³=

T12GM月

4π2

解得   R_月=

3	T12GM月 4π2

-h．
答：該同學表達式是錯的，R_月的表達式 R_月=

3	T12GM月 4π2

-h．

點評：解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運用．