Question

【題目】簡諧運動是我們研究過的一種典型運動方式。

（1）一個質(zhì)點做機械振動，如果它的回復(fù)力與偏離平衡位置的位移大小成正比，而且方向與位移方向相反，就能判定它是簡諧運動。如圖所示，將兩個勁度系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧套在光滑的水平桿上，彈簧的兩端固定，中間接一質(zhì)量為m的小球，此時兩彈簧均處于原長。現(xiàn)將小球沿桿拉開一段距離后松開，小球以O為平衡位置往復(fù)運動。請你據(jù)此證明，小球所做的運動是簡諧運動。

（2）以上我們是以回復(fù)力與偏離平衡位置的位移關(guān)系來判斷一個運動是否為簡諧運動。但其實簡諧運動也具有一些其他特征，如簡諧運動質(zhì)點的運動速度v與其偏離平衡位置的位移x之間的關(guān)系就都可以表示為，v2=v02-ax，其中v0為振動質(zhì)點通過平衡位置時的瞬時速度，a為由系統(tǒng)本身和初始條件所決定的不變的常數(shù)。請你證明，如圖中小球的運動也滿足上述關(guān)系，并說明其關(guān)系式中的a與哪些物理量有關(guān)。已知彈簧的彈性勢能可以表達(dá)為kx2，其中k是彈簧的勁度系數(shù)，x是彈簧的形變量。

（3）一質(zhì)點沿順時針方向以速度v0做半徑為R的勻速圓周運動，如圖所示。請結(jié)合第（2）問中的信息，分析論證小球在x方向上的分運動是否符合簡諧運動這一特征。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析。（2）a等于兩個彈簧的勁度系數(shù)的和，初速度的大小與開始時的振幅有關(guān)。（3）證明見解析。

【解析】

（1）若小球向右偏離的位移為x，選取向右為正方向，由胡克定律可得，小球受到的合外力：F合=（k1+k2）x，由于k1和k2都是常數(shù)，所以小球受到的合外力與位移成正比，小球做簡諧振動。

（2）小球運動的過程中的機械能包括小球的動能與彈簧的彈性勢能，小球運動的過程中系統(tǒng)的機械能守恒，設(shè)小球偏離O點的最大位移為A，則通過平衡位置時：

若小球向右偏離的位移為x時的速度為v，則：

即：v2=v02-（k1+k2）x2=v02-ax2

可知其中a等于兩個彈簧的勁度系數(shù)的和，初速度的大小與開始時的振幅有關(guān)。

（3）當(dāng)質(zhì)點水平方向的位移為x時，質(zhì)點速度與x軸之間的夾角設(shè)為θ，將質(zhì)點的速度沿x軸方向與y軸方向分解如圖，則：

vy=v0cosθ

而：cosθ=

根據(jù)合速度與分速度的關(guān)系可知：v02=vx2+vy2

整理可得：vx2=v02-v02=v02-ax2