Question

一段凹槽B放置在水平面上，槽與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，槽的內(nèi)表面光滑，在內(nèi)表面上有一小球A靠左側(cè)壁放置，此時(shí)小球A與槽的右側(cè)壁相距為l，如圖所示．A、B的質(zhì)量均為m．現(xiàn)對(duì)槽B施加一個(gè)大小等于2mg（g為重力加速度）、方向水平向右的推力F，使B和A一起開始向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)槽B運(yùn)動(dòng)的距離為d時(shí)，立刻將推力撤去，此后A和B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)一段時(shí)間球A與槽的右側(cè)壁發(fā)生碰撞，碰后A和B立刻連在一起運(yùn)動(dòng)．
（1）求撤去推力瞬間槽B的速度v的大小
（2）若A碰到槽的右側(cè)壁時(shí)，槽已停下，求碰后槽B在水平面上繼續(xù)滑行的距離x．
（3）A碰到槽的右側(cè)壁時(shí)，槽可能已停下，也可能未停下，試討論球A相對(duì)于槽從左側(cè)壁運(yùn)動(dòng)至右側(cè)壁所經(jīng)過(guò)的時(shí)間t與l和d的關(guān)系．

Answer 1

（1）推力作用過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得
（F-μ?2mg）d=

1

2

?2mv2
將μ=0.5，F(xiàn)=2mg，代入解得，v=

gd

（2）推力撤去后，A球保持勻速運(yùn)動(dòng)，A球碰槽的右側(cè)壁時(shí)，槽也已停下，碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，則有
mv=2mv′
碰后，由動(dòng)能是
-μ?2mgx=0-

1

2

?2mv′2
由以上各式得 x=

d

4

（3）槽B向右減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得
μ?2mg=ma
x_B=vt_B-

1

2

a

t

2B

v_B=v-at_B
球A在槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球碰到槽的右側(cè)壁時(shí)，A、B間的位移關(guān)系為vt-x_B=l
討論：
（1）當(dāng)球A球碰到槽的右側(cè)壁時(shí)，槽未停下，則t_B=t，且v_B＞0，可解得球A從離開槽的左側(cè)壁到碰撞右側(cè)壁所經(jīng)過(guò)的時(shí)間
t=

2l g

，相應(yīng)的條件是 l＜

d

2

（2）當(dāng)球A球碰到槽的右側(cè)壁時(shí)，槽已停下，則v_B=0，可解得球A從離開槽的左側(cè)壁到碰撞右側(cè)壁所經(jīng)過(guò)的時(shí)間
t=

gd

2g

+

l

gd

，相應(yīng)的條件是 l≥

d

2

答：
（1）撤去推力瞬間槽B的速度v的大小
（2）若A碰到槽的右側(cè)壁時(shí)，槽已停下，求碰后槽B在水平面上繼續(xù)滑行的距離x等于

d

4

．
（3）A碰到槽的右側(cè)壁時(shí)，槽可能已停下，也可能未停下，球A相對(duì)于槽從左側(cè)壁運(yùn)動(dòng)至右側(cè)壁所經(jīng)過(guò)的時(shí)間t與l和d的關(guān)系為：
（1）當(dāng)球A球碰到槽的右側(cè)壁時(shí)，槽未停下，則t_B=t，且v_B＞0，可解得球A從離開槽的左側(cè)壁到碰撞右側(cè)壁所經(jīng)過(guò)的時(shí)間
t=

2l g

，相應(yīng)的條件是 l＜

d

2

（2）當(dāng)球A球碰到槽的右側(cè)壁時(shí)，槽已停下，則v_B=0，可解得球A從離開槽的左側(cè)壁到碰撞右側(cè)壁所經(jīng)過(guò)的時(shí)間
t=

gd

2g

+

l

gd

，相應(yīng)的條件是 l≥

d

2

．