Question

如圖所示，在空間區(qū)域Ⅰ存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=10T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界為MN、PQ，其中PQ邊界位置可以左右調(diào)節(jié)．在PQ右邊空間區(qū)域Ⅱ存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，E=

3

m/s其范圍足夠?qū)挘�在左邊界的A點(diǎn)處有一個(gè)質(zhì)量為m=1.0×10^-12kg、帶電量大小為q=1.0×10^-13C的負(fù)電粒子，以速度V₀=3m/s沿著與左邊界成60°的方向射入磁場(chǎng)，粒子重力不計(jì)，求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
（2）若帶電粒子從邊界PQ飛出磁場(chǎng)，進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到電場(chǎng)中的C點(diǎn)，速度剛好減為零．求滿足此種運(yùn)動(dòng)情況的磁場(chǎng)寬度以及粒子從A點(diǎn)到C點(diǎn)的時(shí)間；
（3）調(diào)節(jié)磁場(chǎng)與電場(chǎng)分界線PQ的位置，使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=

2

3

π秒，恰好到達(dá)邊界PQ時(shí)撤去磁場(chǎng)，同時(shí)將電場(chǎng)反向，粒子進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)粒子速度方向與進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)A點(diǎn)處的速度方向垂直，求粒子磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O點(diǎn)到D點(diǎn)的距離S．（結(jié)論可保留成根號(hào)形式）

Answer 1

分析：（1）粒子射入磁場(chǎng)中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）要使粒子運(yùn)動(dòng)到電場(chǎng)中的C點(diǎn)，速度剛好減為零，必須垂直PQ進(jìn)入電場(chǎng)，畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)可求出磁場(chǎng)的寬度．由幾何知識(shí)確定出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡的圓心角，即可求出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間；根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合可求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求得總時(shí)間；
（3）根據(jù)t=

θ

2π

T，確定出粒子在磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，可知，粒子速度沿PQ邊界進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出水平和豎直位移，由幾何知識(shí)求出的圓心O點(diǎn)到D點(diǎn)的距離S．

解答：解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得
   qv₀B=m

v 2 0

r

解得 r=3m
（2）粒子飛出邊界PQ時(shí)速度與PQ垂直，則磁場(chǎng)的寬度為
  d=rsin30°=1.5m 
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T=

2πr

v0

=

2πm

qB

代入解得，T=2π （s）
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度的偏向角為30°，則軌跡對(duì)應(yīng)的圓心也為30°，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t₁=

30°

120°

T=

1

12

T=

π

6

s
粒子在電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：a=

qE

m

=

3

m/s²
由v₀=at₂得，t₂=

v0

a

=

3

s
故粒子從A點(diǎn)到C點(diǎn)的時(shí)間為t=t₁+t₂=(

π

6

+

3

)s
（3）由題，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=

2

3

π（s）=

T

3

，故圓心角θ=120°．
所以粒子飛出磁場(chǎng)時(shí)，速度沿PQ邊界，進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
設(shè)粒子到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，水平方向分速度大小為v_y．
由題，粒子經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)速度方向與在A點(diǎn)時(shí)的速度方向垂直，由幾何知識(shí)得：D點(diǎn)的速度與豎直方向的夾角為30°，則有
   tan30°=

vy

v0

=

at

v0

解得，t=

v0tan30°

a

=1s
水平位移為 y=

1

2

at2=

3

2

m
豎直位移為 x=v₀t=3m
根據(jù)幾何關(guān)系得：粒子磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O點(diǎn)到D點(diǎn)的距離S=

(y+r)2+x2

代入解得，S=

75 4 +3 3

m
答：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為3m；
（2）磁場(chǎng)寬度為1.5m，粒子從A點(diǎn)到C點(diǎn)的時(shí)間是(

π

6

+

3

)s；
（3）粒子磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O點(diǎn)到D點(diǎn)的距離S是S=

75 4 +3 3

m．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，要根據(jù)粒子的速度偏向角等于軌跡的圓心角，確定圓心角，畫出軌跡．