Question

如圖所示，一個水平放置的圓桶繞水平軸O₁O₂勻速轉(zhuǎn)動，桶的半徑R=2m，桶壁很薄，壁上有一小圓孔P，當圓孔運動到桶的正上方時，在孔的正上方h=3.2m處有一個小球由靜止開始下落，已知圓孔的半徑略大于小球的半徑．試求：要使小球在整個下落過程中都不與桶壁碰撞，圓桶轉(zhuǎn)動的角速度的所有可能值．

Answer 1

分析：小球若能從圓孔中進去還正好從圓孔中出來，就不會跟圓筒相撞，否則就會相撞，設(shè)小球下落h所用時間t₁，經(jīng)過圓桶所用時間為t₂，求出這兩段時間，再求出圓筒的角速度的可能值．

解答：解：設(shè)小球下落h所用時間t₁，經(jīng)過圓桶所用時間為t₂，則h=

1

2

gt²
解得t₁=0.8 s
h+2R=

1

2

g（t₁+t₂）²
解得t₂=0.4 s
設(shè)圓桶的運動周期為T，故有：
nT=t₁（n=1，2，3，…）
（m-

1

2

）T=t₂    （m=1，2，3，…）
解得：T=

0.8

n

 （n=1，2，3，…）
且T=

0.8

2m-1

   （m=1，2，3，…）
故T=

0.8

2m-1

（m=1，2，3，…）
角速度為：ω=

2π

T

=2.5π（2m-1）（m=1，2，3，…）
答：要使小球在整個下落過程中都不與桶壁碰撞，圓桶轉(zhuǎn)動的角速度的可能值為：ω=

2π

T

=2.5π（2m-1）（m=1，2，3，…）．

點評：本題是自由落體運動和圓周運動相結(jié)合的題目，比較有新意，要抓住小球運動時間與圓筒的周期之間的關(guān)系求解，難度適中．