Question

如圖所示，四分之三周長(zhǎng)圓管的半徑R=0.4m，管口B和圓心O在同一水平面上，D是圓管的最高點(diǎn)，其中半圓周BE段存在摩擦，BC和CE段動(dòng)摩擦因數(shù)相同，ED段光滑；質(zhì)量m=0.5kg、直徑稍小于圓管內(nèi)徑的小球從距B正上方高H=2.5m的A處自由下落，到達(dá)圓管最低點(diǎn)C時(shí)的速率為6m/s，并繼續(xù)運(yùn)動(dòng)直到圓管的最高點(diǎn)D飛出，恰能再次進(jìn)入圓管，假定小球再次進(jìn)入圓筒時(shí)不計(jì)碰撞能量損失，取重力加速度g=10m/s²，求
（1）小球飛離D點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）小球從B點(diǎn)到D點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦所做的功．
（3）小球再次進(jìn)入圓管后，能否越過(guò)C點(diǎn)？請(qǐng)分析說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）小球從最高點(diǎn)D飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，由水平距離和豎直距離求出小球飛離D點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球從B點(diǎn)到D點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦所做的功．
（3）應(yīng)用動(dòng)能定理求出小球第二次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度，如果經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度大于零，則能過(guò)C點(diǎn)，如果小于零，則不能過(guò)C點(diǎn)．

解答：解：（1）小球飛離D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，
在水平方向：R=v_Dt，豎直方向：R=

1

2

gt²，
解得：v_D=

2

m/s；
（2）小球從A到D過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
mg（H-R）-W_f1=

1

2

mv_D²-0，解得：W_f1=10J；
（3）小球從C到D過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
-2mgR-W_f2=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_C²，解得：W_f2=4.5J，
小球從A到C過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
mg（H+R）-W_f3=

1

2

mv_C²-0，解得：W_f3=5.5J；
小球再次從D到C的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
-2mgR-W_f4=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_D²，
解得：W_f4=4.5J-

1

2

mv_C²，
W_f4＜W_f2=4.5J，v_C′＞0，小球能過(guò)C點(diǎn)．
答：（1）小球飛離D點(diǎn)時(shí)的速度為

2

m/s．
（2）小球從B點(diǎn)到D點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦所做的功為10J．
（3）小球再次進(jìn)入圓管后，能越過(guò)C點(diǎn)，因?yàn)榈竭_(dá)C點(diǎn)時(shí)速度大于零．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)能定理和向心力知識(shí)的綜合應(yīng)用，這類(lèi)問(wèn)題常常涉及到臨界條件．第（3）問(wèn)中用動(dòng)能定理求變力的功也是常用方法．