Question

（2013?永康市模擬）如圖，兩塊水平放置、相距為2d 的金屬板接在電壓可調(diào)的直流電源上，金屬板長(zhǎng)為3d．中間存在方向垂直紙面向里、寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的帶負(fù)電的顆粒以
v₀的水平速度沿中心線進(jìn)入兩金屬板之間，調(diào)節(jié)電源電壓，使帶電顆粒在電場(chǎng)區(qū)域恰能沿中心線做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)共存區(qū)域后從P點(diǎn)射出，已知P點(diǎn)距下極板為

d

2

，則
（1）判斷上極板所帶電荷的種類，并求兩極板間的電勢(shì)差；
（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值；
（3）現(xiàn)將顆粒的速度提高到

4v0

3

，試通過(guò)計(jì)算判斷顆粒能否從兩板間射出？

Answer 1

分析：1、帶電顆粒在電場(chǎng)區(qū)域恰能沿中心線做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力和重力是一對(duì)平衡力，重力豎直向下，則電場(chǎng)力豎直向上，由于顆粒帶負(fù)電，受到的電場(chǎng)力方向與場(chǎng)強(qiáng)方向相反，由此可判斷上線極板的帶電正負(fù)．根據(jù)電場(chǎng)力和重力是一對(duì)平衡力列方程q

U

2d

=mg，化簡(jiǎn)可得兩極板間的電勢(shì)差．
2、顆粒垂直進(jìn)入電、磁場(chǎng)共存的區(qū)域，重力仍與電場(chǎng)力平衡，合力等于洛倫茲力，顆粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，找出圓心，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌跡半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列方程求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
3、將顆粒的速度提高到

4v0

3

，設(shè)在電場(chǎng)和磁場(chǎng)共存區(qū)域做半徑為R′的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從Q點(diǎn)射出后，在重力和電場(chǎng)力作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)打到B點(diǎn)，設(shè)B相距磁場(chǎng)右側(cè)的A點(diǎn)為x，作出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，找出圓心．根據(jù)洛倫茲力提供向心力q(

4v0

3

)B=m

( 4v0 3 )2

R′

，計(jì)算出軌跡半徑，在根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算x與d的大小關(guān)系，從而判斷顆粒能否射出極板．

解答：解：（1）帶電顆粒在電場(chǎng)區(qū)域恰能沿中心線做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力和重力是一對(duì)平衡力，重力豎直向下，則電場(chǎng)力豎直向上，由于顆粒帶負(fù)電，受到的電場(chǎng)力方向與場(chǎng)強(qiáng)方向相反，故場(chǎng)強(qiáng)方向向下，即上極板帶正電．
設(shè)兩極板間電勢(shì)差為U，由于電場(chǎng)力與重力平衡，有q

U

2d

=mg
所以U=

2mgd

q

（2）顆粒垂直進(jìn)入電、磁場(chǎng)共存的區(qū)域，重力仍與電場(chǎng)力平衡，合力等于洛倫茲力，顆粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
設(shè)半徑為R，由幾何關(guān)系可知：
R2=d2+(R-

d

2

)2
解得R=

5

2

d
根據(jù)洛倫茲力提供向心力qv0B=m

v02

R

所以磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

4mv0

5qd

（3）現(xiàn)將顆粒的速度提高到

4v0

3

，設(shè)在電場(chǎng)和磁場(chǎng)共存區(qū)域做半徑為R′的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
從Q點(diǎn)射出后，在重力和電場(chǎng)力作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)打到B點(diǎn)，設(shè)B相距磁場(chǎng)右側(cè)的A點(diǎn)為x，如圖所示．
根據(jù)洛倫茲力提供向心力q(

4v0

3

)B=m

( 4v0 3 )2

R′

解得R′=

5d

3

圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角θ=arcsin

d

5d 3

=37°
Q點(diǎn)與A點(diǎn)的距離s=d-(R′-R′cosθ)=

2d

3

因?yàn)?span id="dx2opgz" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x=

s

tanθ

=

2d 3

3 4

=

8d

9

＜d
所以顆粒不能從兩板間射出．
答：（1）上極板帶正電，并兩極板間的電勢(shì)差為

2mgd

q

．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值為

4mv0

5qd

；
（3）將顆粒的速度提高到

4v0

3

，顆粒不能從兩板間射出．

點(diǎn)評(píng)：本題要求能正確的畫出顆粒的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌跡的半徑，這是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要能夠熟練的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)表達(dá)物理規(guī)律．