Question

若宇航員完成了對(duì)火星表面的科學(xué)考察任務(wù)，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，必須具有相同的速度．已知：該過(guò)程宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得的總能量為E（可看作是返回艙的初動(dòng)能），返回艙與人的總質(zhì)量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r，不計(jì)火星表面大氣對(duì)返回艙的阻力和火星自轉(zhuǎn)的影響．問(wèn)：
（1）返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，返回艙與人共具有的動(dòng)能為多少？
（2）返回艙在返回過(guò)程中，返回艙與人共需要克服火星引力做多少功？

Answer 1

分析：（1）列出萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力的速度表達(dá)式，在加黃金代換進(jìn)行整合，可以得到動(dòng)能表達(dá)式．
（2）由動(dòng)能定理可以求得火星對(duì)返回艙做的功，則克服火星引力做多少功，是對(duì)這個(gè)負(fù)功的一種表達(dá)，應(yīng)用其正值．

解答：解：（1）質(zhì)量為m′的物體在火星表面：G

Mm′

R2

=m′g①
設(shè)軌道艙的質(zhì)量為m₀，速度大小為v，則：G

Mm0

r2

=m0

v2

r

②
返回艙和人應(yīng)具有的動(dòng)能：Ek=

1

2

mv2③
聯(lián)立以上三式解得：Ek=

mgR2

2r

④
（2）對(duì)返回艙在返回過(guò)程中，由動(dòng)能定理知：
W=E_k-E⑤
聯(lián)立④⑤解得火星引力對(duì)返回艙做功：W=

mgR2

2r

-E
故克服引力做功為-W=E-

mgR2

2r

答：
（1）返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，返回艙與人共具有的動(dòng)能為Ek=

mgR2

2r

（2）返回艙在返回過(guò)程中，返回艙與人共需要克服火星引力做多少功E-

mgR2

2r

點(diǎn)評(píng)：在第二問(wèn)中，求得火星的引力對(duì)返回艙做的功之后，應(yīng)該知道這是一個(gè)負(fù)功，故而在表述克服這個(gè)力做的功時(shí)，應(yīng)用其正值，即在原式基礎(chǔ)上加負(fù)號(hào)，變形得最終結(jié)果．