Question

（2007?江蘇）如圖所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，豎直方向磁場(chǎng)區(qū)域足夠長，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，每一條形磁場(chǎng)區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場(chǎng)區(qū)域的間距均為d=0.5m，現(xiàn)有一邊長l=0.2m、質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=0.1Ω的正方形線框MNOP以v₀=7m/s的初速從左側(cè)磁場(chǎng)邊緣水平進(jìn)入磁場(chǎng)，求：
（1）線框MN邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到安培力的大小F；
（2）線框從開始進(jìn)入磁場(chǎng)到豎直下落的過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）線框能穿過的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)n．

Answer 1

分析：（1）線框MN邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，右邊切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流，根據(jù)安培力的公式F=BIL求解．
（2）線框水平方向上進(jìn)磁場(chǎng)和出磁場(chǎng)受安培力做減速運(yùn)動(dòng)，在無磁場(chǎng)區(qū)以及全部在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上僅受重力，做自由落體運(yùn)動(dòng)．根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)求出線框的末速度，再根據(jù)能量守恒：mgH+

1

2

m

v

2 0

=Q+

1

2

m

v

2 H

，求出熱量Q．
（3）線框進(jìn)入和穿出條形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，才產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，才受到安培力，在水平方向做減速運(yùn)動(dòng)．因?yàn)榫�框在水平方向上做變減速運(yùn)動(dòng)，取很短的一段時(shí)間△t，根據(jù)動(dòng)量定理有：-F△t=m△v，再利用微分∑

B2l2

R

v△t=∑

B2l2

R

△x=mv0
求出線框在水平方向上減速運(yùn)動(dòng)的位移，從而求出穿過的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）線框MN邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)有：F=BlI=Bl

Blv0

R

=2.8N
（2）設(shè)線框豎直下落H時(shí)，速度為v_H
由能量守恒得：mgH+

1

2

m

v

2 0

=Q+

1

2

m

v

2 H

自由落體規(guī)律：v_H²=2gH
解得：Q=

1

2

m

v

2 0

=2.45J
（3）只有在線框進(jìn)入和穿出條形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，才產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，線框部分進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域x時(shí)有：F=BlI=Bl

Blv

R

=

B2l2

R

v
在t→t+△t時(shí)間內(nèi)，由動(dòng)量定理：-F△t=m△v
求和：∑

B2l2

R

v△t=∑

B2l2

R

△x=mv0
解得：

B2l2

R

x=mv0
穿過條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)為：n=

x

2l

≈4.4
可穿過4個(gè)完整條形磁場(chǎng)區(qū)域．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv．以及熟練運(yùn)用能量守恒．第（3）問較難，在水平方向進(jìn)磁場(chǎng)和出磁場(chǎng)做變減速運(yùn)動(dòng)，取很小的一段，通過微分的思想來解決問題．