Question

【題目】如圖所示，豎直固定的足夠長(zhǎng)玻璃管中有一個(gè)活塞，勁度系數(shù)為k=10N/m的彈簧將一質(zhì)量為m=0.lkg的小球與活塞連在一起。彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)，將小球由靜止釋放。已知彈簧的彈性勢(shì)能Ep=(式中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量，取彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為0)，活塞與玻璃管壁之間的最大靜摩擦力f=1.2N，活塞與彈簧的質(zhì)量均可忽略不計(jì)，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10m/s2，求

(1)彈簧的最大伸長(zhǎng)量；

(2)小球的最大速度；

(3)從開(kāi)始到活塞停止運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，活塞與管壁摩擦產(chǎn)生的熱量。

Answer 1

【答案】（1）0.12m；（2）1m/s（3）0.288J

【解析】

小球第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程可以分為三個(gè)階段．第一個(gè)過(guò)程是小球向下加速運(yùn)動(dòng)，由于彈簧彈力（向上）不斷增加，當(dāng)彈力等于重力時(shí)速度最大，根據(jù)動(dòng)能定理可以計(jì)算出小球最大速度，此時(shí)彈力小于塞子最大靜摩擦力，不能拉動(dòng)塞子．第二個(gè)過(guò)程是小球向下減速運(yùn)動(dòng)（彈力大于重力） 當(dāng)彈力等于1.2N時(shí)塞子被拉動(dòng)．塞子立刻達(dá)到與小球同速（加速不需時(shí)間第三個(gè)過(guò)程是塞子質(zhì)量不計(jì)，加速度無(wú)窮大），此時(shí)速度即塞子最大速度，由于塞子小球此時(shí)同速，彈簧不再伸長(zhǎng)，整個(gè)系統(tǒng)向下做減速運(yùn)動(dòng)直至為零．

（1，2）當(dāng)彈力等于重力時(shí)速度最大，此時(shí)有；mg=kx，解得：x=0.1m
根據(jù)動(dòng)能定理有：（mg-kx）x=mv2
解得：v=1m/s
所以小球的最大速度是1m/s；
此時(shí)彈力小于塞子最大靜摩擦力，不能拉動(dòng)塞子。
小球繼續(xù)向下減速運(yùn)動(dòng)（彈力大于重力） 當(dāng)彈力等于1.2N時(shí)塞子被拉動(dòng)，此時(shí)彈簧處于最大伸長(zhǎng)量，kx′=1.2N
解得：x′=0.12m；
（3）當(dāng)彈力等于1.2N時(shí)塞子被拉動(dòng)。塞子立刻達(dá)到與小球同速（加速不需時(shí)間第三個(gè)過(guò)程是塞子質(zhì)量不計(jì)，加速度無(wú)窮大），此時(shí)速度即塞子最大速度，根據(jù)根據(jù)動(dòng)能定理有：

（mg-kx′）x′=mv′2
解得：v′=m/s；

整個(gè)系統(tǒng)向下做減速運(yùn)動(dòng)直至為零，根據(jù)動(dòng)能定理得：mgs-Ffs=0-mv′2
解得：s=0.24m
則產(chǎn)生的熱量：Q=Ffs=0.288J