Question

【題目】建筑工程中的“打樁”是利用重錘的沖擊克服泥土對樁柱的阻力，使樁柱插入泥土到達預定深度的過程。如圖甲 所示，設打樁機重錘的質(zhì)量為m，樁柱的質(zhì)量為M。打樁過程可簡化如下：樁柱下端開始時在地表面沒有進入泥土，提升重錘到距離樁柱上端h高度后使其自由落下，重錘撞擊樁柱上端，經(jīng)極短時間的撞擊使兩者以共同的速度一起向下移動一段距離后停止。然后再次提升重錘，重復打樁過程，逐漸把樁柱打到預定深度。設樁柱向下移動的過程中泥土對樁柱的阻力f的大小與樁柱打入泥土中的深度x成正比，其函數(shù)表達式f=kx（k為大于0的常量，具體值未知），f-x圖象如圖乙所示。已知重力加速度大小為g。

（1）求重錘與樁柱第一次碰撞后瞬間的共同速度大��；

（2）圖象法和比較法是研究物理問題的重要方法，例如從教科書中我們明白了由v-t圖象求直線運動位移的思想和方法，請你借鑒此方法，根據(jù)圖示的f-x圖象結合函數(shù)式f=kx，分析推導在第一次打樁將樁柱打入泥土的過程中阻力所做的功與樁柱打入泥土深度的關系式；并將泥土對樁柱的阻力與你熟悉的彈簧彈力進行比較，從做功與能量轉(zhuǎn)化的角度簡要說明泥土對樁柱的阻力做功和彈簧彈力做功的不同；

（3）若重錘與樁柱第一次的撞擊能把樁柱打入泥土中的深度為d，試求常量k的大小。

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）。

【解析】

試題分析：（1）設重錘落到樁柱上端時的速度為v0，對于重錘下落的過程，根據(jù)機械能守恒定律有……（1分）解得：

重錘與樁柱相互作用過程極為短暫，沖擊力遠大于它們所受的重力，重錘與樁柱組成的系統(tǒng)，沿豎直方向動量守恒，設二者碰撞后共同運動的速度為v1，根據(jù)動量守恒定律有…（1分）

解得：…（1分）

（2）由直線運動的v-t圖象與橫坐標軸所圍的“面積”表示位移，比較阻力隨深度變化的f-x圖象可知，f-x圖象與橫坐標軸所圍成的三角形的“面積”表示阻力功的大小：

……（1分）

阻力對樁柱做負功，所以……（1分）

由題可知：彈簧彈力的大小和泥土對樁柱的阻力大小變化的規(guī)律一樣，都是大小與位移成正比。但是彈簧彈力做的功會使物體減少的機械能以彈性勢能的形式存儲起來，是不同形式的機械能之間的轉(zhuǎn)化；而泥土對樁柱做的功會使物體減少的機械能都轉(zhuǎn)化成了內(nèi)能，是機械能轉(zhuǎn)化為其他形式能的過程。泥土阻力一定做負功，彈簧彈力可以做正功，也可以做負功。（其他說法正確、合理的也同樣得分。每說出一項得1分，最多得2分）………（2分）

（3）對于第一次碰撞后獲得共同速度到進入泥土深度為d的過程，根據(jù)動能定理有

…（2分）可解得：…（1分）