Question

【題目】如圖所示，一質(zhì)量為的小球置于半徑為的光滑豎直圓軌道最低點(diǎn)A處，B為軌道最高點(diǎn)，C、D為圓的水平直徑兩端點(diǎn)．輕質(zhì)彈簧的一端固定在圓心O點(diǎn)，另一端與小球栓接，已知彈簧的勁度系數(shù)為，原長(zhǎng)為，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，若給小球一水平初速度，已知重力加速度為，則（　　）

A. 無(wú)論多大，小球均不會(huì)離開圓軌道

B. 若在則小球會(huì)在B、D間脫離圓軌道

C. 只要，小球就能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)

D. 只要小球能做完整圓周運(yùn)動(dòng)，則小球與軌道間最大壓力與最小壓力之差與無(wú)關(guān)

Answer 1

【答案】AD

【解析】

因彈簧的勁度系數(shù)為k=mg/R，原長(zhǎng)為L=2R，所以小球始終會(huì)受到彈簧的彈力作用，大小為F=k（2R-R）=kR=mg，方向始終背離圓心，無(wú)論小球在CD以上的哪個(gè)位置速度為零，重力在沿半徑方向上的分量都小于等于彈簧的彈力（在CD以下，軌道對(duì)小球一定有指向圓心的支持力），所以無(wú)論v多大，小球均不會(huì)離開圓軌道，故A正確，B錯(cuò)誤。小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，彈簧的彈力和軌道的支持力不做功，機(jī)械能守恒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)速度為零，在最低點(diǎn)的速度最小，有：mv2＝2mgR，所以只要v0＞，小球就能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤。在最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)小球受到的支持力為N，有：N-kR-mg=m，
解得：N=2mg+m…①
運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)受到軌道的支持力最小，設(shè)為N′，設(shè)此時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒有：

mv2＝2mgR+…②
此時(shí)合外力提供向心力，有：N′-kR+mg=m…③
聯(lián)立②③解得：N′=m4mg…④
聯(lián)立①④得壓力差為：△N=6mg，與初速度無(wú)關(guān)，故D正確。故選AD。