Question

【題目】2019年1月3日，嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功著陸在月球背面，并通過(guò)“鵲橋”中繼衛(wèi)星傳回了世界上第一張近距離拍攝月球背面的圖片。此次任務(wù)實(shí)現(xiàn)了人類探測(cè)器首次在月球背面軟著陸、首次在月球背面通過(guò)中繼衛(wèi)星與地球通訊，因而開(kāi)啟了人類探索月球的新篇章。

（1）為了盡可能減小著陸過(guò)程中月球?qū)︼w船的沖擊力，探測(cè)器在距月面非常近的距離h處才關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，此時(shí)速度相對(duì)月球表面豎直向下，大小為v，然后僅在月球重力作用下豎直下落，接觸月面時(shí)通過(guò)其上的“四條腿”緩沖，平穩(wěn)地停在月面，緩沖時(shí)間為t，如圖1所示。已知月球表面附近的力加速度為，探測(cè)器質(zhì)量為，求：

①探測(cè)器與月面接觸前瞬間相對(duì)月球表面的速度v的大小。

②月球?qū)μ綔y(cè)器的平均沖擊力F的大小。

（2）探測(cè)器在月球背面著陸的難度要比在月球正面著陸大很多，其主要的原因在于：由于月球的遮擋，著陸前探測(cè)器將無(wú)法和地球之間實(shí)現(xiàn)通訊。2018年5月，我國(guó)發(fā)射了一顆名為“鵲橋”的中繼衛(wèi)星，在地球和月球背面的探測(cè)器之間搭了一個(gè)“橋”，從而有效地解決了通訊的問(wèn)題。為了實(shí)現(xiàn)通訊和節(jié)約能量，“鵲橋”的理想位置就是固繞“地一月”系統(tǒng)的一個(gè)拉格朗日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。所謂“地一月”系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)是指空間中的某個(gè)點(diǎn)，在該點(diǎn)放置一個(gè)質(zhì)量很小的天體，該天體僅在地球和月球的萬(wàn)有引力作用下保持與地球和月球敏相對(duì)位置不變。

①設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，地球中心和月球中心間的距離為L，月球繞地心運(yùn)動(dòng)，圖2中所示的拉格朗日點(diǎn)到月球球心的距離為r。推導(dǎo)并寫出r與M、m和L之間的關(guān)系式。

②地球和太陽(yáng)組成的“日一地”系統(tǒng)同樣存在拉格朗日點(diǎn)，圖3為“日一地”系統(tǒng)示意圖，請(qǐng)?jiān)趫D中太陽(yáng)和地球所在直線上用符號(hào)“*”標(biāo)記出幾個(gè)可能拉格朗日點(diǎn)的大概位置。

Answer 1

【答案】(1)①，②；(2)①，②

【解析】

(1)①由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

②設(shè)平均沖擊力為F，以豎直向上為正方向，據(jù)動(dòng)量定理得

解得

(2)①設(shè)在圖中的拉格朗日點(diǎn)有一質(zhì)量為m′的物體（m′＜＜m），則月球?qū)ζ涞娜f(wàn)有引力

地球?qū)ζ涞娜f(wàn)有引力F2為

質(zhì)量為m′的物體以地球?yàn)橹行淖鰣A周運(yùn)動(dòng)，向心力由F1和F2的合力提供，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω，則

根據(jù)以上三個(gè)式子可得

月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，有

聯(lián)立以上兩式子可得

②對(duì)于“日-地系統(tǒng)”，在太陽(yáng)和地球連線上共有3個(gè)可能的拉格朗日點(diǎn)，其大概位置如圖所示。