Question

【題目】如圖所示，在傾斜角為30°的光滑斜面上靜止放置兩個(gè)小球，它們的質(zhì)量分別為M和m，它們的半徑分別為R和r。它們之間用長(zhǎng)為的輕繩相連（圖中未畫出）。開始時(shí)緊靠在一起并鎖定于斜面上的A處，在斜面上的B處固定一個(gè)開有小孔的擋板，小孔半徑為R0(r<R0<R)，A、B間距離為，現(xiàn)解除對(duì)小球的鎖定，讓兩小球一起從靜止開始沿斜面下滑，b球取阻礙地通過小孔，而a球與擋板發(fā)生無機(jī)械損失的碰撞，a球碰撞后沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，b球仍沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，輕繩繃緊的時(shí)間極短，斜面足夠長(zhǎng)，兩小球始終在斜面上運(yùn)動(dòng)，重力加速度g取10m/s2。

(1)求小球從A處由靜止開始一起沿下面下滑的加速度大小和它們到達(dá)擋板的速度的大��；

(2)若，求連接兩球的輕繩繃瞬間， 兩球共同速度v的大小和方向；

(3)若，試討論兩球共同速度v的方向與k值關(guān)系。

Answer 1

【答案】(1) (2) ，方向沿斜面向下 (3)當(dāng)時(shí),速度為零；當(dāng)時(shí)，v沿斜面向上；當(dāng)時(shí),v沿斜面向下；

【解析】（1）設(shè)兩球一起運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，由牛頓第二定律得到：

解得：

由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：

解得： 。

（2）a球與擋板發(fā)生五機(jī)械能損失的碰撞后速度為，設(shè)輕繩繃緊前瞬間小球的速度大小為和，從兩球到達(dá)小孔到輕繩繃緊的時(shí)間為t，這一過程中兩球的加速度相同，b球相對(duì)a球?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)，則有：

對(duì)a球： ，對(duì)b球：

解得： （方向沿斜面向下）

（方向沿斜面向上）

由于輕繩繃緊時(shí)間極短，忽略重力沿斜面方向的分力，取沿斜面向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得到：

在時(shí)，解得： ，方向沿斜面向下；

（3）若，由（2）問可知，

當(dāng)時(shí)，

討論：當(dāng)時(shí)，繩繃緊瞬間， 兩球瞬時(shí)速度為零；

當(dāng)時(shí)， ，繩繃緊后， 兩球沿斜面向上運(yùn)動(dòng)；

當(dāng)時(shí)， ，繩繃緊后， 兩球沿斜面向下運(yùn)動(dòng)；