Question

如圖所示，足夠長(zhǎng)的兩根光滑導(dǎo)軌相距0.5m豎直平行放置，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，下端連接阻值為1Ω的電阻R，導(dǎo)軌處在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，磁場(chǎng)的方向垂直于導(dǎo)軌平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.8T．兩根質(zhì)量均為0.04kg、電阻均為0.5Ω的水平金屬棒ab、cd都與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒a6用一根細(xì)繩懸掛，細(xì)繩允許承受的最大拉力為0.64N．現(xiàn)讓cd棒從靜止開始落下，直至細(xì)繩剛好被拉斷，在此過程中電阻R上產(chǎn)生的熱量為0.2J，g取10m/s²，求：
（1）此過程中ab棒和cd棒分別產(chǎn)生的熱量Qab和Qcd；
（2）細(xì)繩剛被拉斷時(shí)，cd棒的速度；
（3）細(xì)繩剛被拉斷時(shí)，cd棒下落的高度．
（4）cd棒從靜止開始落下直至細(xì)繩剛好被拉斷所經(jīng)過的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)串并聯(lián)電路的特點(diǎn)分析通過ab棒和cd棒的電流與通過R的電流關(guān)系，由焦耳定律求解ab棒和cd棒分別產(chǎn)生的熱量Q_ab和Q_cd；
（2）細(xì)繩剛好被拉斷時(shí)，拉力恰好等于最大拉力0.64N，由平衡條件和安培力公式求出ab棒中的電流，根據(jù)歐姆定律求出cd棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由E=BLv求出速度．
（3）cd棒下落過程中，重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為自身的動(dòng)能和電路中的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律列式求出cd棒下落的高度．
（4）根據(jù)牛頓第二定律列式，利用積分法求出時(shí)間．

解答：解：（1）由題，電路中電阻分別為R_ab=R_cd=0.5Ω，R=1Ω，根據(jù)串并聯(lián)電路的特點(diǎn)分析得知，通過它們的電流關(guān)系為：I_cd=3I_R，I_ab=2I_R，由焦耳定律得：
   Q_ab=2Q_R=0.4J，Q_cd=

9

4

Qab=0.9J
（2）外電路總電阻為R′=R_cd+

RRab

R+Rab

=

5

6

Ω
細(xì)繩剛好被拉斷時(shí)，拉力恰好等于最大拉力0.64N，由平衡條件和安培力公式得
   T-mg=BI_abL
代入解得，I_ab=0.6A，則I_R=0.3A，I_cd=0.9A，
cd產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為  E=I_cdR′=0.75V
由E=BLv得，v=

E

BL

=1.875m/s
（3）根據(jù)能量守恒定律得
mgh=

1

2

mv2+QR+Qab+Qcd
代入解得，h=3.93m
（4）根據(jù)牛頓第二定律得：
對(duì)cd棒：mg-

B2L2v

R′

=ma=m

△v

△t

得，mg△t-

B2L2v

R′

△t=m△v
兩邊求和得
    （mg△t）-（

B2L2v

R′

△t）=（m△v）
即有  mgt-

B2L2

R′

（v△t）=mv
又v△t=△x=h
聯(lián)立解得，t≈2.1s
答：
（1）此過程中ab棒和cd棒分別產(chǎn)生的熱量Qab和Qcd分別為0.4J和0.9J．
（2）細(xì)繩剛被拉斷時(shí)，cd棒的速度為1.875m/s．
（3）細(xì)繩剛被拉斷時(shí)，cd棒下落的高度為3.93m．
（4）cd棒從靜止開始落下直至細(xì)繩剛好被拉斷所經(jīng)過的時(shí)間為2.1s．

點(diǎn)評(píng)：本題電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識(shí)的綜合，難點(diǎn)在于運(yùn)用積分求棒下落的時(shí)間，這種方法對(duì)于非勻變速運(yùn)動(dòng)經(jīng)常用到，往往從牛頓第二定律入手列式求解．