Question

（08年韶關(guān)市模擬）（18分）在光滑絕緣的水平面上方，有一足夠大的空間，此空間同時(shí)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在水平面上沿電場(chǎng)線方向放有兩個(gè)靜止的小球A和B（均可看成質(zhì)點(diǎn)），兩小球的質(zhì)量均為m ,A球帶電荷量＋q ，B球不帶電，開(kāi)始時(shí)兩球相距L．現(xiàn)釋放兩球，A球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、B碰撞時(shí)（碰撞時(shí)間可忽略），A、B兩球的總動(dòng)能無(wú)損失，且A、B兩球間無(wú)電荷轉(zhuǎn)移.不考慮空氣阻力，求：

（1）如果 A球與B球能夠發(fā)生碰撞，從釋放兩球至兩球發(fā)生第一次碰撞需要多長(zhǎng)時(shí)間？第一次碰撞后A、B兩球的速度各為多大？

（2）設(shè)q=2×10^-5C，E=1×10⁴N/C，m=0.1kg，B=50T，L=1cm，取g=10m/s²，各次碰撞時(shí)相鄰兩次碰撞的時(shí)間間隔分別是多少？A、B兩球最多能相碰幾次？

Answer 1

解析：

（1）當(dāng)兩球能夠發(fā)生第一次碰撞時(shí)，A球沒(méi)有離開(kāi)水平面，沿水平方向只受電場(chǎng)力的作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且滿足

  （1分）    

  

  （1分）

 

聯(lián)立以上各式得：   （1分）

 

   （1分）

 

即經(jīng)過(guò)時(shí)間兩球發(fā)生第一次碰撞．

 

A球與B球第一次碰撞時(shí)，動(dòng)量守恒，則   (1分)

 

根據(jù)題意，總能量不損失，則      (1分)

 

聯(lián)立解得      (2分)

 

(2)設(shè) 

 

代入數(shù)值求得_o=0.2m/s    t_o=0.1s     a=2m/s²          (1分)

 

設(shè)每次碰撞前，A、B的速度分別為₁、₂ ，碰撞后分別為  、,由于碰撞中動(dòng)量守恒，總動(dòng)能不損失，所以：

   

 

解得            (2分)

 

即碰撞后兩球總是交換速度．

 

由上一問(wèn)可知，第一次碰后A球速度為0 ，此后作勻加速直線運(yùn)動(dòng)；B球作速度為₀ 的勻速直線運(yùn)動(dòng)．

 

設(shè)第二次碰撞前A球速度為v_A2 ,所用時(shí)間為△t₂ ,則

 

     

 

解得        (2分)

 

碰撞后，交換速度，A的速度變?yōu)関₀ ，B的速度變?yōu)?v₀

 

設(shè)第三次碰撞前A球速度為v_A3，所用時(shí)間為△t₃ ，,則

 

 

 

                     解得_A3=3₀           (1分)

 

再次碰撞后，交換速度，A的速度變?yōu)?₀ ，B的速度變?yōu)?₀

 

同理可證，第一次碰撞后的過(guò)程中，A、B每次碰撞前的加速過(guò)程（即相鄰兩次碰撞的間隔），時(shí)間均相等，為

2t=0.2s    (1分)

同時(shí)可得，A球加速n次后的速度為ｎ₀ ．碰后速度為（ｎ-1）₀．每一次碰后至下一次碰前速度增加2₀

設(shè)加速n次后A球剛要離開(kāi)地面，則

 

        ｎq₀Ｂ=ｍｇ                              (2分)

 

代值解得          ｎ=5×10³        即最多碰5000次．  　　  (1分)