Question

如圖所示，豎直放置的質(zhì)量為4m、長為L的圓管頂端塞有一個可看作質(zhì)點的彈性圓球，彈性圓球的質(zhì)量為m，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．圓管從下端離地面距離為H處自由下落，落地后向上彈起的速度與落地速度大小相等．試求：
（1）圓管底端落地前瞬間的速度；
（2）圓管彈起后圓球不致滑落，L應(yīng)滿足什么條件．
（3）圓管上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)v02=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對于管的加速度，以管為參考系，根據(jù)速度位移公式求出球相對于管靜止時的相對位移，即為管的至少長度．
（3）根據(jù)管上升的加速度，以及相對加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點所需時間和管從碰地到與球相對靜止所需的時間，比較兩個時間知道球與管的運動情況，再根據(jù)運動學(xué)公式求出管上升的最大高度．

解答：（1）取豎直向下為正方向，則：
根據(jù)v02=2gH得，
圓管第一次碰地前的瞬時速度v₀=

2gH

，方向豎直向下
（2）碰地后瞬間，管的速度v_管=-

2gH

，球的速度v_球=

2gH

．球相對管的速度v_相=2

2gH

．
碰后，管受重力作用及向下的摩擦力作用，加速度a_管=2g；球受重力和向上的摩擦力作用，加速度a_球=-3g．球相對管的加速度a_相=-5g．
以管為參考系，則球與管相對靜止前，球相對管下滑的距離為：
s_相1=

0-v相2

2a相

=

-(2 2gH )2

2×(-5g)

=

4

5

H
要使球不滑出圓管，應(yīng)滿足：L＞s_相1=

4

5

H
（3）設(shè)管從碰地到它彈到最高點所需時間為t₁（設(shè)球與管這段時間內(nèi)摩擦力方向不變），則：
t₁=

v管

a管

=

2gH

2g

．
設(shè)管從碰地到與球相對靜止所需的時間為t₂，則：
t₂=

v相

a相

=

2 2gH

5g

．
因為t₁＞t₂，說明球與管先達到相對靜止，再以共同速度上升到最高點．設(shè)球和管達相對靜止時的高度為h′，共同速度為v′，則：
h′=v_管t₂-

1

2

a_管t12=

12

25

H
v′=v_管-a_管t₂=

1

5

2gH

此后，球和管以初速度v′豎直上拋．設(shè)再上升的高度為h″，則：
h″=

v′2

2g

=

1

25

H
因此，管上升的最大高度H′=h′+h″=

13

25

H．
答：（1）圓管底端落地前瞬間的速度為

2gH

，方向豎直向下．
（2）圓管彈起后圓球不致滑落，L應(yīng)滿足L＞

4

5

H．
（3）圓管上升的最大高度是

1

25

H．

點評：本題的難點在于管和球的運動情況難于判斷，關(guān)鍵通過計算理清球和管的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式進行求解．