Question

【題目】（20分）某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來研究碰撞問題，其模型如題圖所示不用完全相同的輕繩將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號(hào)依次為1、2、3……N，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k（k＜1.將1號(hào)球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號(hào)球碰撞，2號(hào)球再與3號(hào)球碰撞……所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰.（不計(jì)空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10 m/s2）

（1）設(shè)與n+1號(hào)球碰撞前，n號(hào)球的速度為vn,求n+1號(hào)球碰撞后的速度.

（2）若N＝5,在1號(hào)球向左拉高h的情況下，要使5號(hào)球碰撞后升高16k（16 h小于繩長）問k值為多少？

（3）在第（2）問的條件下，懸掛哪個(gè)球的繩最容易斷，為什么？

Answer 1

【答案】（1）vn-1=

（2）k=

（3）懸掛1號(hào)球的繩最容易斷.

【解析】（1）設(shè)n號(hào)球質(zhì)量為m,n+1，碰撞后的速度分別為取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號(hào)球與n+1號(hào)球碰撞前的速度分別為vn、0、mn+1

根據(jù)動(dòng)量守恒，有 （1）

根據(jù)機(jī)械能守恒，有= （2）

由（1）、（2）得

設(shè)n+1號(hào)球與n+2號(hào)球碰前的速度為En+1

據(jù)題意有vn-1=

得vn-1== （3）

（2）設(shè)1號(hào)球擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v1,由機(jī)械能守恒定律有

（4）

v1= （5）

同理可求，5號(hào)球碰后瞬間的速度

（6）

由（3）式得 （7）

N=n=5時(shí)，v5= （8）

由（5）、（6）、（8）三式得

k= （9）

（3）設(shè)繩長為l,每個(gè)球在最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩對(duì)球的拉力為F,由牛頓第二定律有

（10）

則 （11）

（11）式中Ekn為n號(hào)球在最低點(diǎn)的動(dòng)能

由題意1號(hào)球的重力最大，又由機(jī)械能守恒可知1號(hào)球在最低點(diǎn)碰前的動(dòng)能也最大，根據(jù)（11）式可判斷在1號(hào)球碰前瞬間懸掛1號(hào)球細(xì)繩的張力最大，故懸掛1號(hào)球的繩最容易斷.