Question

（2008?江蘇）（平常練習(xí)改變）在場強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O靜止釋放，小球的運(yùn)動曲線如圖所示．已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到z軸距離的2倍，重力加速度為g．求：
（1）小球運(yùn)動到任意位置P（x，y）的速率v．
（2）小球在運(yùn)動過程中第一次下降的最大距離y_m．
（3）當(dāng)在上述磁場中加一豎直向上場強(qiáng)為E（E＞mg/q）的勻強(qiáng)電場時(shí)，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率v_m．

Answer 1

分析：（1）首先分析，在任意時(shí)刻，小球都只受到重力和洛倫茲力．洛倫茲力始終方向與速度方向垂直，不做功，所以從原點(diǎn)到最低點(diǎn)只有重力做功，根據(jù)動能定理即可求得速度；
（2）設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為v，到x軸距離為h，最低點(diǎn)的曲率半徑為2h．對于小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，小球的向心力由洛倫茲力與重力的合力提供，列出向心力公式，再結(jié)合第一問中的速度就可以求出小球在運(yùn)動過程中第一次下降的最大距離y_m；
（3）加入電場后，結(jié)合動能定理和圓周運(yùn)動向心力的公式即可以求得小球從O靜止釋放后獲得的最大速率v_m．

解答：解析：（1）洛侖茲力不做功，由動能定理得，
           mgy=

1

2

mv²   ①
           得  v=

2gy

 ②
（2）設(shè)在最大距離y_m處的速率為v_m，根據(jù)圓周運(yùn)動有，qv_mB-mg=m 

vm2

R

 ③
且由②知   vm=

2gym

④
由③④及R=2y_m得   ym=

2m2g

q2B2

  ⑤
（3）小球運(yùn)動如圖所示，
由動能定理 （qE-mg）|y_m|=

1

2

mvm2 ⑥
由圓周運(yùn)動  qv_mB+mg-qE=m 

vm2

R

 ⑦
且由⑥⑦及R=2|y_m|解得
v_m=

2

qE

(qE-mg)．

點(diǎn)評：本題涉及到的知識點(diǎn)有洛倫茲力的性質(zhì)（無論何時(shí)都不做功）、機(jī)械能守恒的條件與計(jì)算、圓周運(yùn)動的計(jì)算，對同學(xué)們分析問題的能力要求較高，屬于中檔偏上的題目．