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(2008?江蘇模擬)有條船在水中航行時所受阻力與其速度的大小成正比,現(xiàn)在船由靜止開始沿直線航行.若保持牽引力恒定,經過時間t1,后速度為v1,加速度為a1,牽引力功率為P1,通過航程為s1,最終以2v速度勻速運動;若保持牽引力的功率恒定,經過時間t2后速度為v,加速度為a2,牽引力功率為P2,通過航程為s2,最終也以2v速度勻速運動.則下列關系式正確的是( 。
分析:1、以恒定牽引力啟動的物理過程:
根據牛頓第二定律可知由于F恒定,速度增大,所以加速度減小,故做加速度減小的加速運動.
又P=Fv,由于速度增大,所以功率增大.    
到t1時刻,為v、a1,當F=f=k?2v時,a=0,勻速2v,P=F?2v=4kv2.  
需要注意的是,雖然牽引力恒定,但船所受阻力跟速度成正比,故合外力是變力,不是勻變速運動.
2、以恒定功率啟動的物理過程:
根據牛頓第二定律a=
F-f
m
=
P
v
-f
m
,由于P恒定,速度增大,所以加速度減小,故做加速度減小的加速運動.
到t2時刻,為v、a2,當F′=f=k?2v時,a′=0,勻速2v,P′=F?2v=4kv2
故有最終功率相等.
解答:解:以恒定的牽引力啟動經過時間t1時滿足方程:
F-kv=ma1…①
以2v的速度作勻速運動時滿足方程:
F-k2v=0…②
由①②兩式可得:kv=ma1…③
船以恒定的功率啟動經過時間t2時,設牽引力為F′,則有:F′-kv=ma2…④
設恒定功率為P,則有:P=Fv…⑤
由于功率一定,兩次最終也以2v的速度作勻速運動,勻速運動時滿足方程:P=F2v…⑥
由⑤⑥兩式得:F′=2F
代入④得:2F-kv=ma2…⑦
將②代入上式得:3kv=ma2…⑧
由③⑧兩式相比可得:a2=3a1                                                                
故A正確.
    關于時間的比較用v-t圖象加以分析比較方便.畫出兩船的v-t圖象,圖線的斜率等于其加速度,注意利用速度均為v時,a2=3a1;速度為2v時,均勻速運動,故得圖線如圖所示,圖中甲表示以恒定牽引力啟動,乙表示以恒定功率啟動.
  由圖可知,開始階段,乙的加速度是甲的3倍,乙的速度增加比甲快,乙的位移大于甲,速度達到v時,從圖中很直觀看出t1t2,但是不能證明t1=3t2,同理也不能證明位移和功率的具體關系,只能求出大體大小關系,本題的正確答案應是A.
故選A.
點評:解決此類問題的關鍵是“三分析”--分析受力,根據牛頓運動定律確定運動性質;以加速度為橋梁,分析運動及其變化過程;分析收尾狀態(tài),明確特征及其條件.對于變力作用下的運動過程處理(例如本題求由靜止啟動到最終勻速運動的位移和時間),因涉及微積分,中學只能用動能定理求解或圖象法求解.本題思維難度較大,屬于難題.
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