Question

【題目】如圖，ABD為豎直平面內(nèi)的軌道，其中AB段是水平粗糙的、 BD段為半徑R=0.4m的半圓光滑軌道，兩段軌道相切于B點(diǎn)。小球甲從C點(diǎn)以速度υ0沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在B點(diǎn)的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m，小球甲與AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，C、B距離L=1.6m，g取10m/s2。(水平軌道足夠長(zhǎng)，甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn))

（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；

（2）在滿足(1)的條件下，求的甲的速度υ0；

（3）若甲仍以速度υ0向右運(yùn)動(dòng)，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍。

Answer 1

【答案】（1）0.8 m（2）6m/s（3）0.8 m≤x'<3.2m

【解析】（1）設(shè)乙到達(dá)最高點(diǎn)的速度為vD，乙離開(kāi)D點(diǎn)到達(dá)水平軌道的時(shí)間為t，乙的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x，乙恰能通過(guò)軌道最高點(diǎn)，則 ①

2R＝gt2②

x=vDt ③

聯(lián)立①②③得x=0.8 m④

（2）設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v甲、v乙，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有
⑤

⑥
聯(lián)立⑤⑥得 ⑦
對(duì)乙從B到D由動(dòng)能定理得： ⑧
聯(lián)立①⑦⑧得VB= m/s⑨
甲從C到B由動(dòng)能定理有：

解得：v0＝6m/s

（3）設(shè)甲的質(zhì)量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為vM、vm，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有：MvB=MvM+mvm⑩
(11)
聯(lián)立得⑩(11)得 (12)
由M=m和M≥m，可得vB≤vm<2vB (13)
設(shè)乙球過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度為vD'，由動(dòng)能定理得 (14)

聯(lián)立(13)(14)得2 m/s≤vD'<8 m/s (15)
設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)距B點(diǎn)的距離為x'，有x'=vD't (16)
聯(lián)立②(15)(16)得0.8 m≤x'<3.2m