Question

如圖所示，在光滑絕緣水平面上有直角坐標(biāo)系xoy，將半徑為R=0.4m，內(nèi)徑很小、內(nèi)壁光滑、管壁極薄的圓弧形絕緣管AB水平固定在第二象限內(nèi)，它的A端和圓心O′都在y軸上，B端在x軸上，O′B與y軸負(fù)方向夾角θ=60°．在坐標(biāo)系的第一、四象限不同區(qū)域內(nèi)存在著四個(gè)垂直于水平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，a、b、c為磁場(chǎng)的理想分界線，它們的直線方程分別為a：y=0.2；b：y=-0.1；c：y=-0.4；在a、b所圍的區(qū)域Ⅰ和b、c所圍的區(qū)域Ⅱ內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁、B₂，第一、四象限其它區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B₀．當(dāng)一質(zhì)量m=1.2×10^-5kg、電荷量q=1.0×10^-6C，直徑略小于絕緣管內(nèi)徑的帶正電小球，自絕緣管A端以v=2.0×10^-2 m/s的速度垂直y軸射入管中，在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球能垂直通過(guò)c、a，并又能以垂直于y軸的速度進(jìn)入絕緣管而做周期性運(yùn)動(dòng)．求：
（1）B₀的大小和方向；
（2）B₁、B₂的大小和方向；．
（3）在運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，小球在經(jīng)過(guò)第一、四    象限的過(guò)程中，在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比．

Answer 1

分析：（1）粒子在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則由牛頓第二定律可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度，由左手定則可知磁場(chǎng)的方向；
（2）由題意可知，要使粒子能垂直ca且能周期性運(yùn)動(dòng)，則區(qū)域IⅠ、Ⅱ內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)的半徑應(yīng)相等，區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)等大反向，由幾何關(guān)系可得出粒子的半徑，由牛頓第二定律可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）粒子在運(yùn)動(dòng)中速度大小不變，則由s=vt可求得各段中所需要的時(shí)間，即可求出比值．

解答：解：（1）小球在第一象限過(guò)a做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)
由牛頓第二定律有：qB0v=m

v2

R

解得：B0=

mv

qR

①
代入數(shù)據(jù)得：B₀=0.6T         
由左手定則知B₀方向垂直水平面向下．
（2）要使小球不停的做周期性運(yùn)動(dòng)，則區(qū)域Ⅰ、Ⅱ內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)的半徑應(yīng)相等，區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)等大反向，B₂的方向?yàn)榇怪彼�平面向下，B₁的方向?yàn)榇怪彼�平面向�?nbsp;                  
小球做周期性運(yùn)動(dòng)的徑跡如圖甲．
設(shè)在區(qū)域Ⅱ、Ⅰ內(nèi)小球的圓心為O₁、O₂，小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，偏轉(zhuǎn)角為φ，如圖乙所示．
由幾何知識(shí)知：2rsinφ=O^′D②
R+r-DG=2rcosφ-r③
DG=(1+

3

2

)R④
解②③④得r=

3

2

R⑤
φ=

π

3

r=

mv

qB1

⑥
解④⑤得   B1=0.4

3

T≈0.693T
則有：B2=B1=0.4

3

T≈0.693T
（3）由v=

s

t

知：
小球在第4象限過(guò)c以前做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1=

5πR

6v

⑦
小球在區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間共為t2=

2πr

3v

⑧
小球在第1象限區(qū)域Ⅰ以上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間為  t3=

πR

2v

⑨
設(shè)在運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，小球在通過(guò)第一、四象限的過(guò)程中，在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ外時(shí)間之比為k則  k=

t2

t1+t3

⑩
解⑤⑥⑦⑧⑨⑩得k=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題為高考?jí)狠S題，難度較大，要求學(xué)生能有較好的想象力，在解答此題時(shí)一定要注意通過(guò)畫(huà)圖去找出題目中所給出的條件所說(shuō)明的情景，從而根據(jù)所學(xué)的半徑公式及周期公式進(jìn)行求解．