Question

（2010?鹽池縣模擬）航天飛機(jī)，可將物資運(yùn)送到空間站，也可維修空間站出現(xiàn)的故障．   
（1）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，某次維修作業(yè)中，與空間站對接的航天飛機(jī)的速度計(jì)顯示飛機(jī)的速度為v，則該空間站軌道半徑R′為多大？
（2）為完成某種空間探測任務(wù)，在空間站上發(fā)射的探測器通過向后噴氣而獲得反沖力使其啟動(dòng)．已知探測器的質(zhì)量為M，每秒鐘噴出的氣體質(zhì)量為m，為了簡化問題，設(shè)噴射時(shí)探測器對氣體做功的功率恒為P，在不長的時(shí)間 內(nèi)探測器的質(zhì)量變化較小，可以忽略不計(jì)．求噴氣t秒后探測器獲得的動(dòng)能是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)地球表面重力加速度公式和萬有引力等于向心力聯(lián)立求解出空間站的軌道半徑；
（2）對t秒內(nèi)噴出的氣體運(yùn)用動(dòng)能定理求出噴氣速度，再根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出探測器的速度，進(jìn)一步求出探測器的動(dòng)能．

解答：解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M₀，在地球表面
          g=G

M0

R2

設(shè)空間站質(zhì)量為m′繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)
           G

M0m′

R′2

=m′

v2

R′

聯(lián)立解得
          R′=

R2g

v2

即該空間站軌道半徑R′為

R2g

v2

．

（2）因?yàn)樘綔y器對噴射氣體做功的功率恒為P，而單位時(shí)間內(nèi)噴氣質(zhì)量為m，故在t時(shí)間內(nèi)，據(jù)動(dòng)能定理
          Pt=

1

2

mtv²
求得噴出氣體的速度為
         v=

2p m

另一方面探測器噴氣過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則：
         0=mtv-Mu
又
        E_k=

1

2

Mu²
聯(lián)立得探測器獲得的動(dòng)能：
         E_k=

1

2

M（

mt

M

-

2p m

）²=

mpt2

M

噴氣t秒后探測器獲得的動(dòng)能是

mpt2

M

．

點(diǎn)評：對于衛(wèi)星類問題，通常都要用到萬有引力等于向心力；應(yīng)用動(dòng)能定理要明確研究對象，反沖運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)動(dòng)量一般都守恒！