Question

列車載重時直接向前起動有困難，司機常常先倒車再起動前進．設(shè)在平直軌道上的某機車后面掛接有n節(jié)車廂，機車與每節(jié)車廂的質(zhì)量都為m，它們所受的阻力都為自身重力的k倍，倒車后各節(jié)車廂間的掛鉤所留間隙均為d，如圖（1）所示，在這種植況下，機車以恒定的牽引力F由靜止開始起動，機車及各車廂間掛接的時間極短，掛接后掛鉤的狀態(tài)如圖（2）所示．求：
（1）第一節(jié)車廂剛被帶動時列車的速度
（2）最后一節(jié)車廂剛被帶動時列車的速度
（3）要想使最后一節(jié)車廂也能被帶動起來，機車牽引力 F的最小值．

Answer 1

分析：（1）由動能定理可以求出掛接第一節(jié)車廂時機車的速度，掛接車廂時機車與車廂組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出列車的速度．
（2）由動能定理與動量守恒定律可以求出最后一節(jié)車廂剛被帶動時列車的速度．
（3）最后一節(jié)車廂被帶動起來的條件是，列車的速度大于等于零，據(jù)此求出拉力大�。�

解答：解：（1）掛接第一節(jié)車廂前，由動能定理得：
（F-kmg）d=

1

2

mv₁′²-0，
掛接第一節(jié)車廂的過程中，動量守恒，
由動量守恒定律得：mv₁′=2mv₁，
解得：v₁=

1 2 ( F m -kg)d

；
（2）掛接第二節(jié)車廂前，由動能定理得：
（F-k?2mg）d=

1

2

mv₂′²-

1

2

mv₁²，
掛接第二節(jié)車廂的過程中，動量守恒，
由動量守恒定律得：2mv₂′=3mv₂，
解得：v₂=

2 3 ( F m - 5 3 kg)d

，
掛接第三節(jié)車廂前，由動能定理得：
（F-k?3mg）d=

1

2

mv₃′²-

1

2

mv₂²，
掛接第三節(jié)車廂的過程中，動量守恒，
由動量守恒定律得：3mv₂′=4mv₃，
解得：v₃=

3 4 (F- 7 3 kg)d

，
同理可得，第n節(jié)車廂剛被帶動時的速度：
v_n=

n n+1 (F- 2n+1 3 kg)d

；
（3）要想使最后一節(jié)車廂也能被帶動起來，
則v_n≥0，即

n n+1 (F- 2n+1 3 kg)d

≥0，

F

m

-

2n+1

3

kg≥0，
則F≥

2n+1

3

kmg；
答：（1）第一節(jié)車廂剛被帶動時列車的速度為：

1 2 ( F m -kg)d

；
（2）最后一節(jié)車廂剛被帶動時列車的速度為

n n+1 (F- 2n+1 3 kg)d

；
（3）要想使最后一節(jié)車廂也能被帶動起來，機車牽引力F的最小值為

2n+1

3

kmg．

點評：應用動能定理與動量守恒定律即可正確解題，解題時注意數(shù)學歸納法的應用．