Question

如圖所示，P、Q為水平面內平行放置的金屬長直導軌，間距為L₁，處在磁感應強度大小為B₁、方向豎直向下的勻強磁場中．一根質量為M、電阻為r的導體桿ef垂直于P、Q放在導軌上，導體桿ef與P、Q導軌之間的動摩擦因素為μ．在外力作用下導體桿ef向左做勻速直線運動．質量為m、每邊電阻均為r、邊長為L₂的正方形金屬框abcd置于豎直平面內，兩頂點a、b通過細導線與導軌相連，金屬框處在磁感應強度大小為B₂、方向垂直框面向里的勻強磁場中，金屬框恰好處于靜止狀態(tài)．不計其余電阻和細導線對a、b點的作用力．求：
（1）通過ab邊的電流I_ab；
（2）導體桿ef做勻速直線運動的速度v；
（3）外力做功的功率P_外；
（4）t時間內，導體桿ef向左移動時克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）設通過正方形金屬框的總電流為I，ab邊的電流為I_ab，dc邊的電流為I_dc，有：
I_ab=

3

4

I
I_cd=

1

4

I
金屬框受重力和安培力，處于靜止狀態(tài)，有：mg=B₂I_abL₂+B₂I_dcL₂
聯立三式解得：I_ab=

3mg

4B2L2

故通過ab邊的電流I_ab是：I_ab=

3mg

4B2L2

．
（2）由（1）可得：I=

mg

B2L2

設導體桿切割磁感線產生的電動勢為E，有：E=B₁L₁v
設ad、dc、cb三邊電阻串聯后與ab邊電阻并聯的總電阻為R，則：R=

3

4

r
R與ef串聯的總電阻R_總=

3

4

r+r=

7

4

r 
ef由于運動切割磁感線而產生的電動勢E=B₁L₁v
根據閉合電路歐姆定律，有：I=

E

R總

聯立以上各式：

mg

B2L2

=

B1L1v

7 4 r

解得：v=

7mgr

4B1B2L1L2

．
故導體桿ef的運動速度v是：

7mgr

4B1B2L1L2

．
（3）ef棒在水平方向上受到外力F、安培力、摩擦力，根據平衡條件可知
F=F_A+μMg
因為F_A=B₁IL₁=

B1L1mg

B2L2

所以外力F的功率為：
P_外=Fv=（F_A+μMg）v=

7m2g2r

4 B 22 L 22

+

7μMmg2r

4B1B2L1L2

 
（4）摩擦力為恒力，可以用功的定義式求
W_f=μMgs=μMgvt=

7μMmg2rt

4B1B2L1L2

答：（1）通過ab邊的電流I_ab為

3mg

4B2L2

；
（2）導體桿ef做勻速直線運動的速度v為

7mgr

4B1B2L1L2

；
（3）外力做功的功率為

7m2g2r

4 B 22 L 22

+

7μMmg2r

4B1B2L1L2

；
（4）t時間內，導體桿ef向左移動時克服摩擦力所做的功為

7μMmg2rt

4B1B2L1L2

．