Question

（2009?武漢模擬）如圖所示，在水平桌面上放有長(zhǎng)木板C，C上右端是固定擋板P，在C上左端和中點(diǎn)處各放有小物塊A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不計(jì)，A、B之間和B、P之間的距離皆為L(zhǎng)．設(shè)木板C與桌面之間無(wú)摩擦，A、C之間和B、C之間的靜摩擦因數(shù)及滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ；A、B、C（連同擋板P）的質(zhì)量相同．開(kāi)始時(shí)，B和C靜止，A以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)．試問(wèn)下列情況是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時(shí)物塊A的初速度V₀應(yīng)滿足的條件，或定量說(shuō)明不能發(fā)生的理由．
（1）物塊A與B發(fā)生碰撞
（2）物塊A與B發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞；
（3）物塊B與擋板P發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上再發(fā)生碰撞；
（4）物塊A從木板C上掉下來(lái)；
（5）物塊B從木板C上掉下來(lái)．

Answer 1

分析：開(kāi)始過(guò)程是A與C相互作用，此時(shí)可假設(shè)B與C相對(duì)靜止，再通過(guò)計(jì)算假設(shè)正確，再根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出速度，再結(jié)合能量守恒定律求出它們發(fā)生的位移，從而找出與B發(fā)生碰撞的條件，其它情況的求法類似．

解答：解：（1）、以m表示物塊A、B和木板C的質(zhì)量，當(dāng)物塊A以初速度

v

0

向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，A將受到木板施加的向左的大小為μmg的滑動(dòng)摩擦力而減速，木板C則受到物塊A施加的大小為μmg的滑動(dòng)摩擦力和物塊B施加的大小為f的摩擦力而做加速運(yùn)動(dòng)，物塊B則因受木板C施加的摩擦力f作用而加速，設(shè)A、B、C三者的加速度分別為

a

A

、

a

B

和

a

C

，則由牛頓第二定律，
有μmg=m

a

A

，μmg-f=m

a

C

，f=m

a

B

，事實(shí)上此題中

a

B

=

a

C

，即B、C之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這是因?yàn)楫?dāng)

a

B

=

a

C

時(shí)，由上式可得f=

1

2

μmg     （1），
它小于最大靜摩擦力μmg．可見(jiàn)靜摩擦力使物塊B、木板C之間不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)．
若物塊A剛好與物塊B不發(fā)生碰撞，則物塊A運(yùn)動(dòng)到物塊B所在處時(shí)，A與B的速度大小相等．因物塊B與木板C速度相等，所以此時(shí)三者速度均相同，設(shè)為

v

1

，由動(dòng)量守恒定律得
m

v

0

=3m

v

1

   （2），
在此過(guò)程中，設(shè)木板C運(yùn)動(dòng)的路程為

S

1

，則物塊A的路程為

S

1

+L，如圖所示，

由動(dòng)能定理得
對(duì)A有

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

=-μmg（

S

1

+L）       （3）
對(duì)C與B有

1

2

（2m）

v

2 1

=μm

gS

1

                （4）
解（3）、（4）可得

1

2

（3m）

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

=-μmgL          （5）式中L就是物塊A相對(duì)木板C運(yùn)動(dòng)的路程．
解（2）、（5）得

v

0

=

3μmgL

             （6）
即物塊A的初速度

v

0

=

3μmgL

時(shí)，A剛好不與B發(fā)生碰撞，若

v

0

＞

3μmgL

，則A與B發(fā)生碰撞，故A與B發(fā)生碰撞的條件是

v

0

＞

3μmgL

       （7）
即A與B發(fā)生碰撞的條件是

v

0

＞

3μmgL

．
（2）、當(dāng)物塊A的初速度

v

0

滿足（7）式時(shí)，A與B將發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞的瞬間，A、B、C三者的速度分別為

v

A

、

v

B

和

v

C

，則有

v

A

＞

v

B

    

v

B

=

v

C

      （8）
在物塊A、B發(fā)生碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，木板C對(duì)它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計(jì)．故在碰撞過(guò)程中，A與B構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，而木板C的速度保持不變，因?yàn)槲飰KA、B間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又因?yàn)橘|(zhì)量相等，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后A、B交換速度，若碰撞剛結(jié)束時(shí)，A、B、C三者速度分別為

v

′ A

、

v

′ B

和

v

′ C

，則有

v

′ A

=

v

B

   

v

′ B

=

v

A

   

v

′ C

=

v

C

    （9）
由（8）、（9）式可知，物塊A與木板C速度相等，保持相對(duì)靜止，B相對(duì)AC向右運(yùn)動(dòng)，以后發(fā)生的過(guò)程相當(dāng)于第1問(wèn)中所進(jìn)行的延續(xù)，由物塊B代替A繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)．
若物塊B剛好與擋板P不發(fā)生碰撞，則物塊B以速

v

′ B

從C板的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到擋板P所在處時(shí)與C的速度相等．A與C的速度大小是相等的，A、B、C三者的速度相等，設(shè)此時(shí)三者的速度

v

2

，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有m

v

0

=3m

v

2

    （10）
A以初速度

v

0

開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，接著與B發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊A相對(duì)木板C靜止，B到達(dá)P所在處這一整個(gè)過(guò)程中，先是A相對(duì)C運(yùn)動(dòng)的路程為L(zhǎng)，接著是B相對(duì)C運(yùn)動(dòng)的路程為L(zhǎng)，整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變，等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即

1

2

（3m）

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

=-μmg.2L        （11）
解（10）、（11）兩式得  

v

0

=

6μmgL

      （12）
即物塊A的初速度

v

0

=

6μmgL

時(shí)，A與B碰撞，但B與P剛好不發(fā)生碰撞，
若使

v

0

＞

6μmgL

，就能使B與P發(fā)生碰撞，故A與B碰撞后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞的條件是
 

v

0

＞

6μmgL

                                     （13）
即物塊A與B發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞的條件是

v

0

＞

6μmgL

．
（3）、若物塊A的初速度

v

0

滿足條件（13）式，則在A、B發(fā)生碰撞后，B將與擋板P發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，A、B、C三者的速度分別為

v

″ A

、

v

″ B

和

v

″ C

，則有
  

v

″ B

＞

v

″ A

=

v

″ C

                      （14）
B與P碰撞后的瞬間，A、B、C三者的速度分別為

v

″′ A

、

v

″′ B

和

v

′″ C

，則仍類似于第2問(wèn)解答中（9）的道理，有

v

″′ B

=

v

″ C

     

v

″′ C

=

v

″ B

    

v ″′ A

=

v

″ A

            （15）
由（14）、（15）式可知B與P剛碰撞后，物塊A與B的速度相等，都小于木板C的速度，即

v

″′ C

＞

v

″ A

=

v

″′ B

                                   （16）
在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，木板C以較大的加速度向右做減速運(yùn)動(dòng)，而物塊A和B以相同的較小的加速度向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小分別為

a

C

=2μg     

a

A

=

a

B

=μg                        （17）
加速過(guò)程將持續(xù)到或者A和B與C的速度相同，三者以相同速度

1 3 v

0

向右做勻速運(yùn)動(dòng)，或者木塊A從木板C上掉了下來(lái)．因此物塊B與A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞．
即物塊B與擋板P發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞．
（4）、若A恰好沒(méi)從木板C上掉下來(lái)，即A到達(dá)C的左端時(shí)的速度變?yōu)榕cC相同，這時(shí)三者的速度皆相同，以

v

3

表示，由動(dòng)量守恒有
      3m

v

3

=m

v

0

                               （18）
從A以初速度

v

0

在木板C的左端開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)B與P相碰，直到A剛沒(méi)從木板C的左端掉下來(lái)，這一整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是A相對(duì)C的路程為L(zhǎng)；接著B(niǎo)相對(duì)C運(yùn)動(dòng)的路程也是L；b與P碰后直到A剛沒(méi)從木板C上掉下來(lái)，A與B相對(duì)C運(yùn)動(dòng)的路程也皆為L(zhǎng)．整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即

1

2

（3m）

v

2 3

-

1

2

m

v

2 0

=-μmg.4L                                     （19）
由（18）、（19）兩式，得

v

0

=

12μgL

                                       （20）
即當(dāng)物塊A的初速度

v

0

=

12μgL

時(shí)，A剛好不會(huì)從木板C上掉下．若

v

0

＞

12μgL

，則A將從木板C上掉下，故A從C上掉下的條件是
    

v

0

＞

12μgL

                                        （21）
即物塊A從木板C上掉下來(lái)的條件是

v

0

＞

12μgL

．
（5）若物塊A的初速度

v

0

滿足條件（21）式，則A將從木板C上掉下來(lái)，設(shè)A剛要從木板C上掉下來(lái)時(shí)，A、B、C三者的速度分別為

v

″′ A

、

v

″′ B

和

v

″ C

，則有

v

″′ A

=

v

″′ B

＜

v

″′ C

                                   （22）
這時(shí)（18）式應(yīng)改寫(xiě)為
m

v

0

=2

mv

″″ A

+

mv

″″ C

                               （23）
（19）式應(yīng)改寫(xiě)為

1

2

(2m)v

″″2 B

+

1

2

m

v

″″2 C

-

1

2

m

v

2 0

=-μmg.4L           （24）
當(dāng)物塊A從木板C上掉下來(lái)后，若物塊B剛好不會(huì)從木板C上掉下，即當(dāng)C的左端趕上B時(shí)，B與C的速度相等．設(shè)此速度為

v

4

，則對(duì)B、C這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由動(dòng)量守恒定律，有

v

″″ B

+m

v

″″ C

=2m

v

4

                              （25）
在此過(guò)程中，對(duì)這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和為-μmgL，由動(dòng)能定理可得

1

2

(2m)v

2 4

-（

1

2

mv

″″2 B

+

1

2

mv

″″2 C

）=-μmgL             （26）
由（23）、（24）、（25）、（26）式可得

v

0

=4

μmgL

                                        （27）
即當(dāng)

v

0

＞4

μmgL

時(shí)，物塊B剛好不能從木板C上掉下．若，則B將從木板C上掉下，故物塊B從木板C上掉下來(lái)的條件是

v

0

＞

μmgL

                                       （28）
即物塊B從木板C上掉下來(lái)的條件是

v

0

＞

μmgL

．

點(diǎn)評(píng)：解物理題的關(guān)鍵是對(duì)物理過(guò)程的分析，靈活運(yùn)用假設(shè)思想尋找物理模型，然后根據(jù)不同過(guò)程選用相應(yīng)的規(guī)律求解．