Question

（2013?馬鞍山三模）如圖，在xoy平面第一象限整個區(qū)域分布勻強(qiáng)電場，電場方向平行y軸向下，在第四象限內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場，左邊界為y軸，右邊界為x=

5

2

d的直線，磁場方向垂直紙面向外．質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子從y軸上P點(diǎn)以初速度v₀垂直y軸射入勻強(qiáng)電場，在電場力作用下從x軸上Q點(diǎn)以與x軸正方向成45°角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場．已知OQ=d，不計粒子重力．求：
（1）P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍；
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動，在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動，在y軸方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，已經(jīng)知道在Q點(diǎn)時的速度方向為45°，可知此時沿兩個坐標(biāo)軸的速度都是v₀，在x軸和y軸分別列式，可求出OP的距離，從而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）、對粒子在第四象限中的運(yùn)動軌道進(jìn)行分析，找到臨界狀態(tài)，即軌道恰好與y軸相切為軌道的最大半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出此時的磁感應(yīng)強(qiáng)度，該磁感應(yīng)強(qiáng)度為最小值，從而可表示出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）、首先要分析粒子恰能第二次進(jìn)入磁場的軌跡，畫出軌跡圖，結(jié)合軌跡圖可求出CQ之間的距離，由幾何關(guān)系再求出在第四象限內(nèi)運(yùn)動軌道的半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值，從而可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍

解答：解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入電場時y方向的速度為v_y，則v_y=v₀tan45°
設(shè)粒子在電場中運(yùn)動時間為t，則
OQ=v₀t
OP=

vy

2

t
由以上各式，解得OP=

d

2

P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

d

2

）
（2）粒子剛好能再進(jìn)入電場的軌跡如圖所示，設(shè)此時的軌跡半徑為r₁，則

r₁+r₁sin45°=d 解得：r1=(2-

2

)d
令粒子在磁場中的速度為v，則v=

v0

cos45°

根據(jù)牛頓第二定律qvB₁=

mv2

r1

   解得：B1=

( 2 +1)mv0

qd

要使粒子能再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍 B≥B₁
要使粒子剛好從x=2.5d處第二次進(jìn)入磁場的軌跡如圖，
粒子從P到Q的時間為t，則粒子從C到D的時間為2t，所以  CD=2d
CQ=CD-QD=2d-（2.5d-d）=

d

2

設(shè)此時粒子在磁場中的軌道半徑為r₂，由幾何關(guān)系  2r₂sin45°=CQ解得 r2=

2

4

d                        
根據(jù)牛頓第二定律 qvB₂=

mv2

r2

   解得B2=

4mv0

qd

要使粒子能第二次進(jìn)磁場，粒子必須先進(jìn)入電場，故磁感應(yīng)強(qiáng)度B要滿足B≤B₂
綜上所述要使粒子能第二次進(jìn)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B要滿足
    

( 2 +1)mv0

qd

≤B≤

4mv0

qd

                
 答：（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

d

2

）
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍B≥

( 2 +1)mv0

qd

（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B要滿足

( 2 +1)mv0

qd

≤B≤

4mv0

qd

點(diǎn)評：帶電粒子在電場中的運(yùn)動，綜合了靜電場和力學(xué)的知識，分析方法和力學(xué)的分析方法基本相同．先分析受力情況再分析運(yùn)動狀態(tài)和運(yùn)動過程，然后選用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律解題．解決這類問題的基本方法有兩種，第一種利用力和運(yùn)動的觀點(diǎn)，選用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求解；第二種利用能量轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，選用動能定理和功能關(guān)系求解．經(jīng)對本題的分析可知，粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動，第一問還可以用能量進(jìn)行求解．
本題第四象限內(nèi)存在著有界磁場，帶電粒子在第四象限內(nèi)運(yùn)動時，受到洛倫茲力的作用，將做有臨界狀態(tài)的圓周運(yùn)動，對臨界狀態(tài)的尋找與分析成為了解決此類為題的重點(diǎn)和難點(diǎn)．此種類型的題能充分考查考生的綜合分析能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力．解此類問題的關(guān)鍵是做出帶電粒子運(yùn)動的軌跡圖，抓住物理過程變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)（列出對應(yīng)的狀態(tài)方程），找出粒子運(yùn)動的半徑與磁場邊界的約束關(guān)系．