Question

在真空中速度為v₀=6.4×10⁷m/s的電子束連續(xù)地射人兩平行極板之間．極板長L=8.0×10^-2m，間距d=5.0×10^-3m，兩極板不帶電時(shí)，電子束將沿兩極板之間的中線通過，在兩極板加一個(gè)50Hz的交變電壓U=U₀sinωt，如果所加電壓的最大值U₀超過某一值U_c時(shí)，將開始出現(xiàn)以下現(xiàn)象：電子束有時(shí)能通過兩極板，有時(shí)間斷不能通過．（電子的質(zhì)量為9.1×10^-31kg）
求：（1）U_c的大�。�
（2）U₀為何值時(shí)才能使通過的時(shí)間t₁跟間斷的時(shí)間t₂之比為t₁：t₂=2：1．

Answer 1

分析：（1）電子飛出電場(chǎng)的時(shí)間t=

L

v0

=1.25×10^-9s，交變電壓的周期T=0.02s，t遠(yuǎn)小于T，可近似認(rèn)為一個(gè)電子在兩板間運(yùn)動(dòng)期間，電場(chǎng)來不及發(fā)生變化，因此就一個(gè)電子來說，它相當(dāng)于穿過一個(gè)恒定的電場(chǎng)．建立了這樣的理想化模型：某個(gè)電子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)．當(dāng)電子恰好從飛出電場(chǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)距離等于

d

2

，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出U_c的大�。�
（2）使電子通過的時(shí)間t₁跟間斷的時(shí)間t₂之比為t₁：t₂=2：1，對(duì)于按正弦規(guī)律變化的交變電壓可由數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合畫圖得到，電壓大于U_C的時(shí)間為

1

6

周期才能滿足條件，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出UU₀．

解答：解：（1）電子飛出電場(chǎng)的時(shí)間t=

L

v0

=1.25×10^-9s，交變電壓的周期T=

1

f

=0.02s，t遠(yuǎn)小于T，電子相當(dāng)于穿過一個(gè)恒定的電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)．電子恰好不能通過電場(chǎng)時(shí)電壓為U_c，則
電子飛出電場(chǎng)的時(shí)間t=

L

v0

由

d

2

=

1

2

at2，a=.

eUc

md

聯(lián)立得，U_c=

m v 2 0 d2

eL2

代入解得，U_c=91V
（2）因?yàn)殡娮油ㄟ^的時(shí)間t₁跟間斷的時(shí)間t₂之比為t₁：t₂=2：1，所以在半個(gè)周期內(nèi)，將有

1

3

的時(shí)間極板間電壓的瞬時(shí)值超過U_C=91V，而

2

3

的時(shí)間內(nèi)極板間電壓的瞬時(shí)值小于U_C=91V．根據(jù)正弦交流電的變化規(guī)律可知，應(yīng)有：UU_C=U₀sin（

π

3

）  
代入解得：U₀=105V．
答：
（1）U_c的大小是91V；
（2）U₀為105V時(shí)才能使電子通過的時(shí)間t₁跟間斷的時(shí)間t₂之比為t₁：t₂=2：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查挖掘理想化條件構(gòu)建物理模型的能力．第（2）問還考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．