Question

圖甲所示，平行金屬板PQ、MN水平地固定在地面上方的空間，金屬板長(zhǎng)l=20cm，兩板間距d=10cm，兩板間的電壓U_MP=100V．在距金屬板M端左下方某位置有一粒子源A，從粒子源豎直向上連續(xù)發(fā)射速度相同的帶電粒子，射出的帶電粒子在空間通過(guò)一垂直于紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.20T的圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）后，恰好從金屬板PQ左端的下邊緣水平進(jìn)入兩金屬板間，帶電粒子在電場(chǎng)力作用下恰好從金屬板MN的右邊緣飛出．已知帶電粒子的比荷

q

m

=2.0×10⁶C/kg，粒子重力不計(jì)，計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字．

求：（1）帶電粒子射人電場(chǎng)時(shí)的速度大��；
（2）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑；
（3）若兩金屬板間改加如圖乙所示的電壓，在哪些時(shí)刻進(jìn)入兩金屬板間的帶電粒子不碰到極板而能夠飛出兩板間．

Answer 1

（1）設(shè)帶電粒子從PQ左邊緣進(jìn)入電場(chǎng)的速度為v，由MN板右邊緣飛出的時(shí)間為t，帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a，則
d=

1

2

at2
a=

qU

dm

t=

l

v

則v=

qUl2 2d2m

解得v=2.0×10⁴m/s
（2）粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度方向改變了解90°，可見(jiàn)粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)了四分之一圓周．設(shè)圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為r，粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，則
qvB=m

v2

R

R=

mv

qB

=0.05m
由圖中幾何關(guān)系可知
r=

2

2

R=0.036m
圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑r=0.036m
（3）帶電粒子以v=2.0×10⁴m/s進(jìn)入兩金屬板間，穿過(guò)電場(chǎng)需要的時(shí)間為
t=

l

v

=1.0×10^-5s，正好是交變電壓的半個(gè)周期．
在兩極板上加上如圖所示的交變電壓后，設(shè)帶電粒子的加速度為a′，則
a′=

qU′

dm

=4.0×109m/s²
t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子穿過(guò)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)量為：y=

1

2

a′t2=0.20m＞d=10cm，粒子將打在MN板上．
同理，t=2.0、4.0、6.0…2.0n（n=0、1、2、3…）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子都將打在MN板上
設(shè)帶電粒子在t₁時(shí)刻進(jìn)入兩極板間，恰好從MN板右邊緣飛出，帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后向下加速的時(shí)間為△t₁，則減速階段的時(shí)間也是△t₁，如圖2所示，由對(duì)稱(chēng)性可知d=2×

1

2

a′△

t

21

，△t₁=0.50×10^-5s
所以t₁=t-△t₁=（1.0-0.5）×10^-5s=0.5×10^-5s
設(shè)帶電粒子在t₂時(shí)刻進(jìn)入兩極板間，恰好從PQ板右邊緣飛出．它在豎直方向的運(yùn)動(dòng)是先加速向下，經(jīng)過(guò)△t₂時(shí)間后電場(chǎng)反向，粒子在豎直方向運(yùn)動(dòng)改為減速向下，又經(jīng)過(guò)時(shí)間△t₂，豎直分速度減為零，然后加速向上直到從Q點(diǎn)飛出電場(chǎng)．粒子這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程的軌跡示意圖如圖3所示，帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后向下加速的時(shí)間為
△t₂，
y₁=2×

1

2

a′(△t2)2=

1

2

a′×(t-2△t2)2
△t₂=（1-

2

2

）×10?5s
t₂=t-△t₂=[1.0-（1-

2

2

）]×10^-5s=

2

2

×10^-5s=0.70×10^-5s
考慮到交變電流的周期性，帶電粒子不碰到極板而能夠飛出兩板間的時(shí)刻t為
（0.5+2n）×10^-5s＜t＜（0.70+2n）×10^-5s（n=0，1，2，3…）
答：：（1）帶電粒子射人電場(chǎng)時(shí)的速度大小為2.0×10⁴m/s；
（2）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為0.036m；
（3）若兩金屬板間改加如圖乙所示的電壓，當(dāng)（0.5+2n）×10^-5s＜t＜（0.70+2n）×10^-5s（n=0，1，2，3…）時(shí)進(jìn)入兩金屬板間的帶電粒子不碰到極板而能夠飛出兩板間．