Question

如圖，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過(guò)程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開(kāi)始下滑，求:

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

（2）金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】（1）設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv  ①

平行板電容器兩極板的電壓為U，U=E      ②

設(shè)此時(shí)電容器極板上儲(chǔ)存的電荷為Q，按定義有

  ③

聯(lián)立①②③式解得 ④

（2）設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間為t,通過(guò)金屬棒的電流為i，金屬棒受到磁場(chǎng)的安培力為F，方向沿導(dǎo)軌向上，大小為F="BLi"  ⑤

設(shè)在t～t+時(shí)間間隔內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為，按定義有 ⑥

也是平行板電容器兩極板在t～t+時(shí)間間隔內(nèi)增加的電荷量

由④式可得 ⑦ 式中為金屬棒速度的變化量

按加速度的定義有 ⑧

分析導(dǎo)體棒的受力：受重力mg，支持力N，滑動(dòng)摩擦力f，沿斜面向上的安培力F。

N=mgcos⑨  ⑩(11)

聯(lián)立⑤至(11)式得(12)

由(12)式及題設(shè)可知,金屬棒做初速為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),t時(shí)刻金屬棒下滑的速度大小為v

    (13)

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是通過(guò)牛頓第二定律的求解得出加速度的表達(dá)式是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的物理量，導(dǎo)體棒做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，這一問(wèn)題考生不容易分析出來(lái)，造成該題不容易得分。具體分析：首先要由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和電容的定義式求解速度大小為v時(shí)電容器極板上儲(chǔ)存的電荷Q，這一問(wèn)不難，考生較容易解出；其次列牛頓第二定律方程，正確的解出加速度是一個(gè)恒量，即金屬棒做初速為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)v=at解出本題的答案，這一問(wèn)考生對(duì)電流的定義，加速度的定義的理解有一定的局限性，高中階段不變的情況較多，用微積分的思想求解的練習(xí)題較少，所以大多數(shù)考生這一問(wèn)不能得分，難度（1）中等，（2）難。

【考點(diǎn)定位】牛頓第二定律、導(dǎo)線(xiàn)切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、電容器定義式、電流定義式、加速度定義式、感應(yīng)電流、安培力。