已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M(0，2)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F₁MF₂是等腰直角三角形．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁＋k₂＝8，探究：直線AB是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．

設(shè)函數(shù)f(x)＝(x²＋ax＋a)e^－x，其中x∈R，a是實(shí)常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底．

(1)確定a的值，使f(x)的極小值為0；

(2)討論關(guān)于x的方程f(x)＋(x)＝2xe^－x＋x^－2(x≠0)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

已知函數(shù)f(x)的圖象在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：

，

其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f₂(x)－f₁(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)為區(qū)間[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．

(1)若f(x)＝cosx，x∈[0，π]，試寫出f₁(x)，f₂(x)的表達(dá)式；

(2)已知函數(shù)f(x)＝x²，x∈[－1，4]，試判斷f(x)是否為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，求出相應(yīng)的k；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)已知b＞0函數(shù)f(x)＝－x³＋3x²是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍．

已知函數(shù)

(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線與直線y＝x＋2垂直，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)，都有恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)記g(x)＝f(x)＋x－b，當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間[e^－1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

(理)已知函數(shù)．

(Ⅰ)若函數(shù)有區(qū)間上存在極值(a＞0)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)如果當(dāng)x≥1，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(Ⅲ)求證：[(n＋1)！]²＞(n＋1)·e^n－2(n∈N^*)．

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x³－3x²＋3ax－3a＋3

(Ⅰ)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求|f(x)|的最大值．

如圖，已知橢圓C₁與C₂的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸均為MN且在x軸上，短軸長(zhǎng)分別為2m，2n(m＞n)，過(guò)原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C₁，C₂的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D．記λ＝，△BDM和△ABN的面積分別為S₁和S₂．

(Ⅰ)當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S₁＝λS₂，求λ的值；

(Ⅱ)當(dāng)λ變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S₁＝λS₂？并說(shuō)明理由．

設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f(x)＝．

(Ⅰ)當(dāng)a≠b時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)x＞0時(shí)，稱f(x)為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．

(ⅰ)判斷f(1)，f()，f()是否成等比數(shù)列，并證明f()≤f()；

(ⅱ)a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．

若H≤f(x)≤G，求x的取值范圍．