【題目】已知函數(shù).
(1)求證:;
(2)用表示中的最大值,記,討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1)見解析,(2)見解析
【解析】
(1) 設(shè)求出函數(shù)的最小值即可;
(2) 對(duì)x和a的范圍進(jìn)行討論,得出f(x),g(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,利用單調(diào)性及最值判斷f(x),g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),從而得出h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(1)證明:設(shè),定義域?yàn)?/span>,
則.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
故在內(nèi)是減函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù),
所以是的極小值點(diǎn),也是的最小值點(diǎn),
所以,所以
(2)解:函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以在內(nèi)是減函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù),
所以是的極小值點(diǎn),也是的最小值點(diǎn),
即
若,則,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
所以,于是只有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng),則當(dāng)時(shí),,此時(shí),
當(dāng)時(shí),,,此時(shí)
所以沒有零點(diǎn).
當(dāng),則當(dāng)時(shí),根據(jù)(1)可知,
而,所以
又因?yàn)?/span>,所以在上有一個(gè)零點(diǎn),
從而一定存在,使得,
即,所以.
當(dāng)時(shí),,
所以,從而,
于是有兩個(gè)零點(diǎn)和1.
故當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),沒有零點(diǎn),當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點(diǎn)的動(dòng)直線l與y軸交于點(diǎn),過點(diǎn)T且垂直于l的直線與直線相交于點(diǎn)M.
(1)求M的軌跡方程;
(2)設(shè)M位于第一象限,以AM為直徑的圓與y軸相交于點(diǎn)N,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,,為的中點(diǎn),點(diǎn),分別在線段,上運(yùn)動(dòng)(其中不與,重合,不與,重合),且,沿將折起,得到三棱錐,則三棱錐體積的最大值為______;當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),其外接球的半徑______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:
未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | |||||||
頻數(shù) | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | ||||||
頻數(shù) | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:
(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計(jì)算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式。孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問題之一,可以這樣描述:存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得p+2是素?cái)?shù),素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2)稱為孿生素?cái)?shù).在不超過30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其中能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市對(duì)一項(xiàng)惠民市政工程滿意程度(分值:分)進(jìn)行網(wǎng)上調(diào)查,有2000位市民參加了投票,經(jīng)統(tǒng)計(jì),得到如下頻率分布直方圖(部分圖):
現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機(jī)抽取位市民召開座談會(huì),其中滿意程度在的有5人.
(1)求的值,并填寫下表(2000位參與投票分?jǐn)?shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計(jì));
滿意程度(分?jǐn)?shù)) | |||||
人數(shù) |
(2)求市民投票滿意程度的平均分(各分?jǐn)?shù)段取中點(diǎn)值);
(3)若滿意程度在的5人中恰有2位為女性,座談會(huì)將從這5位市民中任選兩位發(fā)言,求男性甲或女性乙被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的曲線圖是2020年1月25日至2020年2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例的曲線圖,則下列判斷正確的是( )
A.1月31日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例中西安市占比超過了
B.1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例都呈遞增趨勢(shì)
C.2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了97例
D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例的增長(zhǎng)率大于2月6日到2月8日的增長(zhǎng)率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求在點(diǎn)處的切線;
(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,并求出極值;
(3)求證:.
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