已知橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F2(1,0),P是橢圓上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=8.

(1)求橢圓M的方程;

(2)點(diǎn)A是橢圓M短軸的一個(gè)端點(diǎn),且其縱坐標(biāo)大于零,點(diǎn)B、C是橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn),其中△ABC的重心是橢圓M的右焦點(diǎn),求直線(xiàn)BC的方程.

解:(1)設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由已知得mn=8,由PF1⊥PF2,得m2+n2=4,

∴(m+n)2=m2+n2+2mn=20,即(2a)2=20,得a2=5.

∴b2=a2-c2=4.

故橢圓M的方程為+=1.

(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),直線(xiàn)BC的斜率為k,BC中點(diǎn)為(x0,y0),A(0,2).

顯然BC不會(huì)與x軸垂直,故x1≠x2,

則+=1,                              ①

+=1,                               ②

①-②得=.       ③  

由于F2(1,0)是△ABC的重心,

所以=1,得x0==,=0,得y0==-1,

代入③得k=,

∴直線(xiàn)BC的方程為6x-5y-14=0.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•東城區(qū)二模）已知橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），P是此橢圓上的一點(diǎn)，且
PF1
•
PF2
=0，
|PF1|
•
|PF2|
=8．
（1）求橢圓M的方程；
（2）點(diǎn)A是橢圓M短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)大于零，B、C是橢圓上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若△ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，求直線(xiàn)BC的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），P是此橢圓上的一點(diǎn)，且數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式．
（1）求橢圓M的方程；
（2）點(diǎn)A是橢圓M短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)大于零，B、C是橢圓上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若△ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，求直線(xiàn)BC的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：東城區(qū)二模 題型：解答題

已知橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），P是此橢圓上的一點(diǎn)，且
PF1
•
PF2
=0，
|PF1|
•
|PF2|
=8．
（1）求橢圓M的方程；
（2）點(diǎn)A是橢圓M短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)大于零，B、C是橢圓上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若△ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，求直線(xiàn)BC的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008-2009學(xué)年重慶十一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），P是此橢圓上的一點(diǎn)，且，．
（1）求橢圓M的方程；
（2）點(diǎn)A是橢圓M短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)大于零，B、C是橢圓上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若△ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，求直線(xiàn)BC的方程．

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