Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．
（Ⅰ）若x=

2

3

為f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=-1使，方程f(1-x)-(1-x)3=

b

x

有實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)極值點的信息，我們要用導數(shù)法，所以先求導f′(x)=

a

ax+1

+3x2-2x-a，則x=

2

3

為f(x)的極值點，則有f′(

2

3

)=0從而求得結(jié)果．
（II）由f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．
（III）將a=-1代入，方程f(1-x)-(1-x)3=

b

x

，可轉(zhuǎn)化為b=xlnx+x²-x³，x＞0上有解，只要求得函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域即可．

解答：解：（I）f′(x)=

a

ax+1

+3x2-2x-a=

x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)]

ax+1

∵x=

2

3

為f(x)的極值點，∴f′(

2

3

)=0，
∴3a(

2

3

)2+

2

3

(3-2a)-(a2+2)=0且

2

3

a+1≠0，解得a=0
又當a=0時，f'（x）=x（3x-2），從而x=

2

3

為f(x)的極值點成立．
（II）因為f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
所以

x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)]

ax+1

≥0在[1，+∞)上恒成立．（6分）
若a=0，則f'（x）=x（3x-2），此時f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)成立，故a=0符合題意
若a≠0，由ax+1＞0對x＞1恒成立知a＞0．
所以3ax²+（3-2a）x-（a²+2）≥0對x∈[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=3ax²+（3-2a）x-（a²+2），其對稱軸為x=

1

3

-

1

2a

，
因為a＞0，所以

1

3

-

1

2a

＜

1

3

，從而g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
所以只要g（1）≥0即可，即-a²+a+1≥0成立
解得

1- 5

2

≤a≤

1+ 5

2

又因為a＞0，所以0＜a≤

1+ 5

2

．（10分）
綜上可得0≤a≤

1+ 5

2

即為所求
（III）若a=-1時，方程f(1-x)-(1-x)3=

b

x

可得lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

即b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在x＞0上有解
即求函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
法一：b=x（lnx+x-x²）令h（x）=lnx+x-x²
由h′(x)=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

∵x＞0∴當0＜x＜1時，h'（x）＞0，
從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
當x＞1時，h'（x）＜0，從而h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以無窮小．∴b的取值范圍為（-∞，0]（15分）
法二：g'（x）=lnx+1+2x-3x²g″(x)=

1

x

+2-6x=-

6x2-2x-1

x
當0＜x＜

1+ 7

6

時，g″(x)＞0，所以g′(x)在0＜x＜

1+ 7

6

上遞增；
當x＞

1+ 7

6

時，g″(x)＜0，所以g′(x)在c＞

1+ 7

6

上遞減；
又g'（1）=0，∴令g′(x0)=0，0＜x0＜

1+ 7

6

∴當0＜x＜x₀時，g'（x）＜0，
所以g（x）在0＜x＜x₀上遞減；當x₀＜x＜1時，g'（x）＞0，
所以g（x）在x₀＜x＜1上遞增；當x＞0時，g（x）＜0，所以g（x）在x＞1上遞減；
又當x→+∞時，g（x）→-∞，g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+

1

4

)
當x→0時，lnx+

1

4

＜0，則g（x）＜0，且g（1）=0所以b的取值范圍為（-∞，0]

點評：本題主要考查導數(shù)在求最值和極值中的應用，變形與轉(zhuǎn)化是導數(shù)法解題中的關(guān)鍵．