已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
分析:(1)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
=
3
(
x
a
+
a-1
x
)
,故需對a分①當(dāng)a<0②當(dāng)0<a<1③當(dāng)a>1三種情況討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間
(2)由題設(shè)及(1)中③知
a(a-1)
=
6
,且a>1,可求a的值,從而可得函數(shù)解析式
(3)假設(shè)存在經(jīng)過原點的直線l為曲線C的對稱軸,根據(jù)題意故可設(shè)l:y=kx(k≠0).
設(shè)P′(p′,q′)與P(p,q)關(guān)于直線l對稱,且p≠p′,q≠q′,則P′在曲線C上,得
q+q/
2
=k•
p+p/
2
,
q-q/
p-p/
=-
1
k
,且q=
p
3
+
2
3
p
,q′=
p/
3
+
2
3
p/
,整理可求k
解答:解:(1)①當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-
a(a-1)
,0),(0,
a(a-1)
);
②當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞);
③當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-
a(a-1)
),(
a(a-1)
,+∞).
(2)由題設(shè)及(1)中③知
a(a-1)
=
6
,且a>1,解得a=3,因此函數(shù)解析式為f(x)=
3
x
3
+
2
3
x
( x≠0).
(3)假設(shè)存在經(jīng)過原點的直線l為曲線C的對稱軸,顯然x,y軸不是曲線C的對稱軸,故可設(shè)l:y=kx(k≠0).
設(shè)P(p,q)為曲線C上的任意一點,P′(p′,q′)與P(p,q)關(guān)于直線l對稱,且p≠p′,q≠q′,
則P′也在曲線C上,由此得
q+q/
2
=k•
p+p/
2
,
q-q/
p-p/
=-
1
k
,
且q=
p
3
+
2
3
p
,q′=
p/
3
+
2
3
p/
,整理得k-
1
k
=
2
3
,解得k=
3
或k=-
3
3

所以存在經(jīng)過原點的直線y=
3
x
及y=-
3
3
x
為曲線C的對稱軸.
點評:本題目主要考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的解析式,利用函數(shù)的對稱性求解直線的方程的知識的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3•2x-1,則當(dāng)x∈N時,數(shù)列{f(n+1)-f(n)}( 。
A、是等比數(shù)列B、是等差數(shù)列C、從第2項起是等比數(shù)列D、是常數(shù)列

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-x
+
1
x+2
的定義域為集合A,B={x丨m<x-m<9}.
(1)若m=0,求A∩B,A∪B;
(2)若A∩B=B,求所有滿足條件的m的集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-x
+
1
x+2
的定義域為集合A,B={x|x<a}.
(1)若A⊆B,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若全集U={x|x≤4},a=-1,求?UA及A∩(?UB).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-ax
a-1
(a≠1)在區(qū)間(0,4]上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)當(dāng)x∈[1,4]時,求函數(shù)h(x)=[f(x)+1]•g(x)的值域;
(2)如果對任意的x∈[1,4],不等式f(x2)•f(
x
)>k•g(x)
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案