Question

【題目】已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當x≤﹣1時，f（x）=x+b，且f（x）的圖象經(jīng)過點（﹣2，0），在y=f（x）的圖象中有一部分是頂點為（0，2），過點（﹣1，1）的一段拋物線．
（1）試求出f（x）的表達式；
（2）求出f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x≤﹣1時，f（x）=x+b，且f（x）的圖象經(jīng)過點（﹣2，0），

則b﹣2=0，解得：b=2，即f（x）=x+2；

由于f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當x≥1時，f（x）=f（﹣x）=﹣x+2；

y=f（x）的圖象中有一部分是頂點為（0，2），過點（﹣1，1）的一段拋物線．

設(shè)y=ax2+2，過點（﹣1，1），則a+2=﹣1，解得：y=﹣x2+2，

可見當﹣1＜x＜1時，f（x）=﹣x2+2；

則f（x）=

（2）解：當x≤﹣1時，f（x）=x+2≤1；

當﹣1＜x＜1時，f（x）=﹣x2+2∈（1，2]；

當x≥1時，f（x）=﹣x+2≤1；

函數(shù)的值域為（﹣∞，2]

【解析】(1)由待定系數(shù)法可求出當x≤﹣1時函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性得出當x≥1時，f（x）=f（﹣x）=﹣x+2，由題意可知根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可求出﹣1＜x＜1時的函數(shù)解析式，進而得到在不同的區(qū)間上的f（x）的解析式。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．