Question

若直線x+y=k與曲線y=

1-x2

恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是

-1≤k＜1或k=

2

．

Answer 1

分析：曲線y=

1-x2

表示一個(gè)半圓，如圖所示．當(dāng)直線過點(diǎn)A（-1，0）時(shí)，直線y=-x+k與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線過點(diǎn)B（1，0），C（0，1）時(shí)，直線y=-x+k與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)k=1；當(dāng)直線位于此兩條直線之間時(shí)滿足題意．當(dāng)直線y=-x+k與半圓相切時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)，也滿足條件．

解答：解：曲線y=

1-x2

表示一個(gè)半圓，如圖所示．
當(dāng)直線過點(diǎn)A（-1，0）時(shí)，直線y=-x+k與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)k=-1；
當(dāng)直線過點(diǎn)B（1，0），C（0，1）時(shí)，直線y=-x+k與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)k=1；
當(dāng)直線y=-x+k與半圓相切時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)，k=

2

．
因此當(dāng)-1≤k＜1時(shí)，或k=

2

，直線x+y=k與曲線y=

1-x2

恰有一個(gè)公共點(diǎn)．
故答案為-1≤k＜1，或k=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的相交于相切的位置關(guān)系、數(shù)形結(jié)合思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查了推理能力和計(jì)算能力．