Question

【題目】設函數(shù)f（x）=e2x ， g（x）=kx+1（k∈R）． （Ⅰ）若直線y=g（x）和函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求k的值；
（Ⅱ）當k＞0時，若存在正實數(shù)m，使對任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設切線的坐標為（t，e2t），由f（x）=e2x得f′（x）=2e2x ， ∴切線方程為y﹣e2t=2e2t（x﹣t），即y=2e2tx+（1﹣2t）e2t ，
由已知y=2e2tx+（1﹣2t）e2t和y=kx+1為同一條直線，
∴2e2t=k，（1﹣2t）e2t=1，
令h（x）=（1﹣x）ex ， 則h′（x）=﹣xex ，
當x∈（﹣∞，0）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
當x∈（0，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（0）=1，
當且僅當x=0時等號成立，
∴t=0，k=2，
（Ⅱ）①當k＞2時，由（Ⅰ）知：
存在x＞0，使得對于任意x∈（0，x0），都有f（x）＜g（x），
則不等式|f（x）﹣g（x）|＞2x等價于g（x）﹣f（x）＞2x，
即（k﹣2）x+1﹣e2x＞0，
設t（x）=（k﹣2）x+1﹣e2x ， t′（x）=k﹣2﹣2e2x ，
由t′（x）＞0，得：x＜ ln ，由t′（x）＜0，得：x＞ ln ，
若2＜k≤4， ln ≤0，∵（0，x0）（ ln ，+∞），
∴t（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，注意到t（0）=0，
∴對任意x∈（0，x0），t（x）＜0，與題設不符，
若k＞4， ln ＞0，（0， ln ）（﹣∞， ln ），
∴t（x）在（0， ln ）上單調(diào)遞增，
∵t（0）=0，∴對任意x∈（0， ln ），t（x）＞0，符合題意，
此時取0＜m≤min{x0 ， ln }，可得對任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x，
②當0＜k≤2時，由（Ⅰ）知e2x﹣（2x+1）≥0，（x＞0），
f（x）﹣g（x）=e2x﹣（2x+1）+（2﹣k）x≥（2﹣k）x≥0對任意x＞0都成立，
∴|f（x）﹣g（x）|＞2x等價于e2x﹣（k+2）x﹣1＞0，
設φ（x）=e2x﹣（k+2）x﹣1，則φ′（x）=2e2x﹣（k+2），
由φ′（x）＞0，得x＞ ln ＞0，φ′（x）＜0得x＜ ln ，
∴φ（x）在（0， ln ）上單調(diào)遞減，注意到φ（0）=0，
∴對任意x∈（0， ln ），φ（x）＜0，不符合題設，
綜上所述，k的取值范圍為（4，+∞）．
【解析】（Ⅰ）設切線的坐標為（t，e2t），得到（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）ex ， 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的值即可；（Ⅱ）通過討論k的范圍，結(jié)合對任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立以及函數(shù)的單調(diào)性求出對應的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出k的具體范圍即可．