Question

【題目】已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2（a＞1）在x=﹣1時有極值0．
（1）求常數 a，b的值；
（2）方程f（x）=c在區(qū)間[﹣4，0]上有三個不同的實根時，求實數c的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x3+3ax2+bx+a2，得：f′（x）=3x2+6ax+b

因為f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1時有極值O，

所以 ，即

解得： 或 ，

當a=1，b=3時，f（x）=x3+3x2+3x+1，

f′（x）=3x2+6x+3=3（x2+2x+1）=3（x+1）2≥0

所以函數f（x）=x3+3x2+3x+1在（﹣∞，+∞）上為增函數，

不滿足在x=﹣1時有極值O，應舍掉，

所以，常數a，b的值分別為a=2，b=9

（2）解：當a=2，b=9時，f（x）=x3+6x2+9x+4，

f′（x）=3x2+12x+9，

由3x2+12x+9＞0，得：x＜﹣3或x＞﹣1，

由3x2+12x+9＜0，得：﹣3＜x＜﹣1．

所以，函數f（x）=x3+6x2+9x+4的增區(qū)間為（﹣∞，﹣3），（﹣1，+∞）．減區(qū)間為（﹣3，﹣1）．

又f（﹣4）=0，f（﹣3）=4，f（﹣1）=0，f（0）=4，

所以函數f（x）=x3+6x2+9x+4的大致圖像如圖，

若方程f（x）=C在區(qū)間[﹣4，0]上有三個不同的實根，則函數y=f（x）與y=C的圖像有三個不同的交點，

由圖像可知方程f（x）=C在區(qū)間[﹣4，0]上有三個不同的實根時實數c的范圍是（0，4）．

【解析】（1）求出函數f（x）的導函數，由f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1時有極值O，則f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，兩式聯立可求常數a，b的值；（2）把a，b代入后得到函數解析式，運用函數的導函數大于0和小于0求解函數f（x）的單調區(qū)間和函數f（x）的極值，再求出f（﹣4）和f（0），結合函數的單調性作出函數圖像的大致形狀，數形結合可求得實數c的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．