【題目】已知數(shù)列{an}滿足條件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，
（1）計算a1、a3、a4 ， 請猜測數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）設(shè)bn=an+n（n∈N*），求 的值．

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時，a1=1，且a2=6

當(dāng)n=2時，a3=3（a2﹣1）=15，

當(dāng)n=3時，2a4=4（a3﹣1），∴a4=28，

猜測

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

ⅰ當(dāng)n=1，2，3，4時，等式 已成立

ⅱ假設(shè)當(dāng)n=k時，

則由（k﹣1）ak+1=（k+1）（ak﹣1），有： =2k2+3k+1=2（k+1）2﹣（k+1）

即n=k+1時，等式也成立

綜上， 成立


（2）解：bn=an+n=2n2

∴bn﹣2=2（n﹣1）（n+1）

∴ = （ ）

∴ =

= =


【解析】（1）計算前幾項(xiàng)，猜想數(shù)列的通項(xiàng)，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可求得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)學(xué)歸納法的定義對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線．（1）求曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn) ，當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動時，求中點(diǎn)的軌跡方程．

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【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且b=c，∠A的平分線為AD，若 =m ．
（1）當(dāng)m=2時，求cosA
（2）當(dāng) ∈（1， ）時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=2，a5=32，數(shù)列{bn}滿足：對于任意n∈N* ， 有a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）2n+1+2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n ， 求 的值；
（3）求數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式，若在數(shù)列{an}的任意相鄰兩項(xiàng)ak與ak+1之間插入bk（k∈N*）后，得到一個新的數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)之和T100 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于兩個定義域相同的函數(shù)f（x），g（x），若存在實(shí)數(shù)m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數(shù)h（x）是由“基函數(shù)f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x2+3x和個g（x）=3x+4生成一個偶函數(shù)h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x2+3x﹣1由函數(shù)f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（3）利用“基函數(shù)f（x）=log4（4x+1），g（x）=x﹣1”生成一個函數(shù)h（x），使之滿足下列件：①是偶函數(shù)；②有最小值1；求函數(shù)h（x）的解析式并進(jìn)一步研究該函數(shù)的單調(diào)性（無需證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）對任意的實(shí)數(shù)滿足：f（x+3）=﹣ ，且當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時，f（x）=﹣（x+2）2 ， 當(dāng)﹣1≤x＜3時，f（x）=x．則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）= ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)A是單位圓和x軸正半軸的交點(diǎn)，P，Q是單位圓上兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且 ，∠AOQ=α，α∈[0，π）． （Ⅰ）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是 ，求 的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù) ，求f（α）的值域．

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【題目】已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，BA=AD=DC= BC=a，E是BC的中點(diǎn)，將△BAE沿著AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F(xiàn)，G分別為B1D，AE的中點(diǎn)．

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（3）證明：平面B1GD⊥平面B1DC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對任意 恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

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