Question

（2012•湛江二模）對(duì)一個(gè)定義在R上的函數(shù)f（x）有以下四種說法：
①?x∈R，f（1-x）=f（1+x）；
②在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減；
③對(duì)任意x₁＞x₂＞0滿足f（x₁）＞f（x₂）；
④是奇函數(shù)．
則以上說法中能同時(shí)成立的最多有（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：分析①?x∈R，f（1-x）=f（1+x），關(guān)于x=1對(duì)稱；對(duì)于②f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減；①②可以在一起；③表示其為增函數(shù)，④為奇函數(shù)，故③④可以放在一起；

解答：解：①?x∈R，f（1-x）=f（1+x），對(duì)稱軸x=

1-x+1+x

2

=1，若其在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以①不能與③④一起成立，
③對(duì)任意x₁＞x₂＞0滿足f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
④f（x）為奇函數(shù)，不能與①一起成立，可以與③一起成立，
∴①②可以一起成立，③④可以一起成立，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)奇偶性的定義及其性質(zhì)，利用函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)性進(jìn)行判斷，此題是一道好題；