(2012•湛江二模)某市為了解今年高中畢業(yè)生的身體素質(zhì)狀況,從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個班進行實心球測試,成績在8米及以上的為合格.把所得數(shù)據(jù)進行整理后,分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖),已知第一小組為[5,6),從左到右前5個小組的頻率分別為0.06,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小組的頻數(shù)是6.
(1)求這次實心球測試成績合格的人數(shù);
(2)用此次測試結(jié)果估計全市畢業(yè)生的情況.若從今年的高中畢業(yè)生中隨機抽取兩名,記X表示兩人中成績不合格的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)經(jīng)過多次測試后,甲成績在8~10米之間,乙成績在9.5~10.5米之間,現(xiàn)甲、乙各投一次,求甲投得比乙遠的概率.
分析:(1)第6小組的頻率為:1-(0.06+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.12,此次測試總?cè)藬?shù)為
6
0.12
=50
人,由此能求出這次實心球測試成績合格的人數(shù).
(2)X=0,1,2,此次測試中成績不合格的概率為
15
50
=
3
10
,由X~B(2,
3
10
),能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(3)設(shè)甲、乙各投擲一次的成績?yōu)閤,y米,由基本事件滿足的區(qū)域為
8≤x≤10
9.5≤y≤10.5
,“甲投得比乙遠的概率”滿足的區(qū)域為x>y,由幾何概型能求出結(jié)果.
解答:解:(1)第6小組的頻率為:1-(0.06+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.12,
此次測試總?cè)藬?shù)為
6
0.12
=50
人,
∴第4,5,6組成績均合格,人數(shù)為(0.28+0.30+0.12)×50=35(人).
(2)X=0,1,2,此次測試中成績不合格的概率為
15
50
=
3
10
,
∴X~B(2,
3
10
),
P(X=0)=(
7
10
)
2

P(X=1)=
C
1
2
(
7
10
)(
3
10
 )
=
21
50
,
P(X=2)=(
3
10
)
2
=
9
100
,
∴X的分布列為
 X  0  1  2
 P  
49
100
 
21
50
 
9
100
EX=2×
3
10
=
3
5

(3)設(shè)甲、乙各投擲一次的成績?yōu)閤,y米,
由基本事件滿足的區(qū)域為
8≤x≤10
9.5≤y≤10.5
,
“甲投得比乙遠的概率”滿足的區(qū)域為x>y,(如圖)
∴由幾何概型知P(A)=
1
2
×
1
2
×
1
2
1×2
=
1
16

點評:本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是歷年高考的必考題型.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
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3
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7

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