Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）根據(jù)解析式求得切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，從而可求得切線方程；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；當(dāng)單調(diào)遞減時(shí)滿足題意，即恒成立即可，從而可求得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，可證得在上單調(diào)遞增，不滿足題意；綜合三種情況可得.

（1）當(dāng)時(shí)，，則

故，又

故所求切線方程為，即

（2）由題意得，在上恒成立

設(shè)函數(shù)，則

故對(duì)任意，不等式恒成立

①當(dāng)，即恒成立時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減

設(shè)，則

，即，解得，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增

則不等式對(duì)任意恒成立，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)，設(shè)，則

令，解得

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，成立，不符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為