Question

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，（不在軸上），求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由已知條件推導(dǎo)出,設(shè),由此能求出橢圓C的方程.

（2）設(shè),由題意設(shè)直線AB的方程為,由,得關(guān)于的一元二次方程,由此韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式等結(jié)合已知條件能求出面積的最大值.

解：由題知,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,即①,

過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于,

設(shè),則,,

②,③.

②③得,

,

,

,

④

由①④解得,,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由（1）知,則,所以右焦點(diǎn)

又因?yàn)檫^右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),（不在軸上）,

設(shè),由題意：

①當(dāng)斜率不存時(shí)，設(shè)的方程為

則,

②當(dāng)斜率存時(shí)，設(shè)的方程為,

由題意：

,消去并整理,得,

由韋達(dá)定理，得

點(diǎn)到直線的距離為,

設(shè),

令,得,又因?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增,

所以在沒有極值.

所以當(dāng)斜率不存時(shí)有極大值為.

綜上所述,面積的最大值為.