【題目】設函數(shù)f(x)=ex+ax2(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào),且y=f′(x)有零點,求a的值;
(2)若對x∈[0,+∞),有 ≥1,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:f′(x)=ex+2ax,
記g(x)=ex+2ax,則g′(x)=ex+2a,
①a=0時,f(x)=ex,顯然不合題意;
②a>0時,g′(x)>0,f′(x)在R遞增,
∵f′(0)=1>0,f′(﹣ )<0,
故y=f′(x)有唯一零點x1,顯然x∈(﹣∞,x1)時,f′(x)<0,
x∈(x1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在R不單調(diào),不合題意;
③a<0時,由g′(x)=0得x=ln(﹣2a),于是f′(x)在(﹣∞,ln(﹣2a))遞減,
在(ln(﹣2a),+∞)遞增,因此要滿足條件,必須且只需f′[ln(﹣2a)]=0,
即﹣2a+2aln(﹣2a)=0,解得:a=﹣
(2)解:a<0時,若x>﹣ ,則ax+1<0,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度知:
存在x0,當x>x0時,必有ex>﹣ax2,即ex+ax2>0,
因此x>max{﹣ ,x0},有 <0,顯然不合題意,
當a≥0時,記h(x)=ex+ax2﹣ax﹣1,則 ≥1當且僅當h(x)≥0,
h′(x)=ex+2ax﹣a,顯然h′(x)在[0,+∞)遞增,
①a≤1時,由h′(0)=1﹣a<1,h′(1)=e+a>0,
得h′(x)=0在[0,+∞)上有且只有1個實數(shù)根,
不妨設該實根為x1,當0<x<x1時,h′(x)<0,從而h(x)在(0,x1)遞減,
故x∈(0,x1)時,h(x)<h(0)=0,不合題意,
綜上,a的范圍是[0,1]
【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍結合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點求出a的值即可;(2)通過討論a的范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值,從而確定滿足條件的a的范圍即可.
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3
(I)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側面ACC1A1⊥底面ABC,底面ABC是等腰直角三角形,CA=CB,A1B⊥AC1 .
(1)求證:平面A1BC⊥平面ABC1;
(2)若直線AA1與底面ABC所成的角為60°,求直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,設傾斜角為的直線(為參數(shù))與曲線(為參數(shù))相交于不同的兩點.
(1)若,求線段中點的坐標;
(2)若,其中,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),a為常數(shù)
(1)判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性
(2)若f(x)在上的最小值為,求a的值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設Sn為數(shù)列{an}的前n項的和,且Sn = (an -1)(n∈N*), 數(shù)列{bn }的通項公式bn = 4n+5.
①求證:數(shù)列{an }是等比數(shù)列;
②若d∈{a1 ,a2 ,a3 ,……}∩{b1 ,b2 ,b3 ,……},則稱d為數(shù)列{an }和{bn }的公共項,按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新的數(shù)列{dn },求數(shù)列{dn }的通項公式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校有2500名學生,其中高一1000人,高二900人,高三600人,為了了解學生的身體健康狀況,采用分層抽樣的方法,若從本校學生中抽取100人,從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a,b,且直線ax+by+8=0與以A(1,﹣1)為圓心的圓交于B,C兩點,且∠BAC=120°,則圓C的方程為( )
A.(x﹣1)2+(y+1)2=1
B.(x﹣1)2+(y+1)2=2
C.(x﹣1)2+(y+1)2=
D.(x﹣1)2+(y+1)2=
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